C'était le Certificat d'Etude

L’enseignement des mathématiques évolue avec le temps et avec son temps. Des méthodes qui ont marqué nos aïeuls ne sont plus enseignées aujourd’hui car les besoins et les exigences changent et certaines machines modernes, comme la calculatrice, sont apparues.

 

La méthode de fausse position :

Enseignée dans les classes de l’école primaire pour l’obtention du Certificat d’Etude, la méthode de fausse position fut une alternative pratique aux techniques de calculs algébriques.
Voilà un petit problème que l’on aurait pu trouver à l’examen du Certificat d’Etude :

Un marchant de fruits et légumes a acheté l’ensemble de sa marchandise à 2 francs le kilo.
Il vend les tomates à 5 francs le kilo. Celles-ci représentent le tiers de la marchandise. Le quart de sa marchandise sont des pommes vendues à 4 francs le kilo. Le reste est vendu au prix coûtant.
La totalité de sa marchandise lui permet de réaliser un bénéfice de 198 francs.
Quelle quantité de fruits et légumes en kilo a-t-il acheté au départ ?

Ce problème peut se résoudre aujourd’hui en 3ème à l’aide d’une équation linéaire. Mais les méthodes algébriques n’entraient pas dans le programme des écoles primaires. Les écoliers ne désignaient pas l’inconnue par une lettre mais lui donnaient une valeur arbitraire :

Si le marchand avait acheté 12kg de marchandise, calculons son bénéfice :
Dépense initiale : 2x12=24F.
Vente des tomates : 5x12/3=20F
Vente des pommes : 4x12/4=12F
Vente du reste : 2x5=10F
Somme perçue : 20+12+10=42F
Bénéfice : 42-24=18F
La marchandise est d’autant de fois 12kg que 18 francs est contenu dans 198 francs, soit :
12x198/18=132kg.

 

D’autres problèmes se solutionnaient par la méthode de fausse position comme ceux résolus aujourd’hui algébriquement par des systèmes de deux équations à deux inconnues et proposés habituellement au brevet des collèges.

A la piscine, il existe le tarif enfant à 4 francs et le tarif adulte à 6 francs. Il est entré aujourd’hui 256 personnes et la recette s’élève à 1248 francs.
Quel est le nombre d’entrées de chaque sorte ?

Si toutes les personnes avaient été des adultes, la recette aurait été de : 256x6=1536F
Or la recette est de 1248F, soit une différence de 288F.
Chaque fois que l’on remplace une entrée à 6F par une entrée à 4F, on perd 2F.
Le nombre de place à 4F est donc égal au nombre de fois que 2F est contenu dans 288F, soit : 144 fois. Il est donc entré 144 enfants et 256-144=112 adultes.

 

Extraire une racine carrée

La technique exposée dans ce qui suit et qui permet d’extraire les racines carrées fut également longtemps enseignée pour le Certificat d’Etude.

Soit par exemple à extraire la racine carrée de 45896 : 1) On commence par grouper les chiffres par deux en partant de la droite : 4.58.96 On cherche le plus grand carré inférieur ou égal à la 1ère tranche, c’est 4. On note à la place du diviseur la racine de ce carré (soit 2) comme premier chiffre de la racine carrée de 45896. On soustrait ce carré de la 1ère tranche et on abaisse la suivante. On obtient 58.
2) On double la racine partielle, soit 2x2=4. On reprend ce 4 pour chercher le plus grand chiffre C tel que 4CxC≤58. Attention 4C ne désigne pas 4xC mais le nombre à deux chiffres 4C dont C est l’unité. On trouve C=1. 1 est le deuxième chiffre de la racine de 45896. On soustrait 41 de 58 et on abaisse la tranche suivante. On obtient 1796.
3) On réitère l’étape 2) autant de fois qu’on le souhaite et ceci tant que le reste est non nul.
4) On trouve ici une valeur approchée arrondie au centième de 45896 égale à 214,23.

Les tables trigonométriques, logarithmiques, …

Il y a encore quelques décennies, nos parents ne disposaient pas de calculatrice en cours de mathématiques. Pour obtenir le cosinus d’un angle par exemple, il fallait retrouver la valeur cherchée dans de gigantesques tables numériques.

Il en était de même pour les logarithmes dont l’usage permettait de substituer une multiplication par une addition. Opération bien plus commode à effectuer à une époque où, rappelons-le, la calculatrice n’existait pas.

Ainsi, celui qui aurait à effectuer 36x62, appliquerait la formule qui fait passer d'un produit à une somme : log(xy) = log(x) + log(y), soit :
log(36x62) = log(36) + log(62).
En cherchant dans la table de logarithmes, on trouve log(36)≈1,5563 et log(62)≈1,7964.
Soit : log(36x62)≈1,5563+1,7924=3,3487.
En cherchant à nouveau dans la table le logarithme égal à 3,3487, on trouve 2232, d'où : 36x62=2232.

 

Depuis ces dernières années, les progrès des calculatrices, devenues de véritables ordinateurs de poche, pourraient remettre en question les programmes des classes scientifiques du lycée.
Nous trouvons actuellement à des prix accessibles des « calculatrices » capables d’effectuer une partie non négligeable d’un sujet proposé au baccalauréat comme par exemple une étude de fonction complète (calculs de dérivées, tableau de variations, recherche de limites, …).
Alors si aujourd’hui il nous semble naturel de ne plus demander aux élèves d’extraire une racine carrée à la main, on peut s’interroger sur l’évolution de l’enseignement des mathématiques qui verra peut être dans un futur plus ou moins proche disparaître certaines techniques de calcul formel, arithmétique ou autres pour laisser place aux numérique qui entrent de plus en plus dans les programmes de mathématiques…

Et pour finir, rendez-vous sur le site d'un collègue retraité qui a mis en ligne le cahier de compositions de son frère, né en 1925. Il avait passé le certificat d'étude durant l’année scolaire 1936-1937 (11 ans).