Classification des nombres

 

 

Dans la vie de tous les jours, on peut avoir besoin de compter des objets : 1, 2, 3, 4, … C’est ce qu’il y a de plus naturel. On appelle ces nombres : les entiers naturels.
Mais parfois, il n’y a rien à compter, le zéro est aussi un nombre entier naturel. C’est d’ailleurs le tout premier. L’ensemble des nombres entiers naturels se note ℕ (vient de l’italien « Naturale »).

 

Si 0 est le premier, que se passe-t-il alors lorsqu’on a moins que rien ?
On dépense par exemple plus d’argent qu’on en possède ou on plonge en dessous du niveau de la mer ou même encore la température descend en dessous de 0°C.
On introduit ainsi les nombres négatifs tels que : -5, -200, -14.
Nombres négatifs et positifs forment l’ensemble des nombres entiers relatifs et se note ℤ (vient de l’allemand « Zahl » = nombre).

 

Si l’entier est entier !!! La suite nous dira qu'il n’est pas voué à le rester.
Prenons un entier. Nous allons le partager, le découper, le fractionner, le décimer… après ce cruel supplice, nous obtenons des nombres d’une nouvelle famille : les nombres décimaux.
1,5 par exemple est composé d’un entier et de la moitié d’un entier.
L’ensemble des nombres décimaux se note ⅅ (vient du français « Décimal »).

 

Mais parfois le partage se passe mal et le résultat devient plus difficile à représenter.
Partageons par exemple un entier en trois. Divisons donc 1 par 3, on trouve 0,3333333333333… avec une suite infinie de « 3 ».
ll y a cependant quelque chose de rationnel dans ce partage, car nous comprenons ce nombre, nous connaissons toutes ses décimales mais nous n’arrivons pas à les écrire. Contrairement aux nombres décimaux, dont l’écriture s’arrête.
Ce nombre fait partie de l’ensemble des nombres rationnels et se note ℚ (vient de l’italien « Quotiente »).

Nous avons utilisé plus haut le terme de « fractionner ». En effet, tous les nombres de l’ensemble des rationnels peuvent s’écrire sous forme d’une fraction. Le résultat de « 1 : 3 » par exemple, s’écrit :

 

Allons encore plus loin avec les nombres à virgule :
Résolvons l’équation : x² = 2 ou quel nombre faut-il multiplier par lui-même pour trouver 2 ? La solution est √2, soit environ 1,414 213 562 373 095 …
Or cette suite ne s’arrête jamais et nous ne la "comprenons pas".
Les décimales semblent provenir "du hasard". Il n’y a plus rien de rationnel.
√2 est un nombre irrationnel que les pythagoriciens (VIeme siècle avant J.C.) ont longtemps nié et ont tenté de cacher.
Il fait partie de l’ensemble des nombres réels et se note ℝ (vient de l’allemand « Real »).

Parmi les nombres réels, il y a les nombres algébriques, dont nous venons d’énoncer un exemple (√2). Ils sont solution d’une équation polynomiale à coefficients entiers.
Il y a ensuite les nombres transcendants, dont l’écriture est aussi mystérieuse que les précédents et qui de surcroît ne se laissent dompter par aucune équation à coefficients entiers.
Le nombre Pi et le nombre e sont transcendants !

 

On pourrait penser qu’il n’y a pas plus complexe que les nombres transcendants.
Et pourtant si : les nombres complexes, qui vont nous amener encore plus loin vers l’abstraction mathématique.
Pour exemple, citons le plus illustre des nombres complexes : la solution de l’équation x² = -1 ou quel nombre faut-il multiplier par lui-même pour trouver -1 ? Equation bien étrange qui pour les élèves du collège n'a pas de solution.
C'est vrai, elle n'a pas de solution réelle, mais elle possède une solution complexe. Il s’agit du nombre i. Par ce nombre, on peut générer la famille des nombres complexes, notée ℂ et dont tous les éléments sont de la forme a + ib (a et b étant des nombres réels).

Remarquons que les nombres entiers font partie des nombres décimaux qui font partie des nombres rationnels qui font partie des nombres réels qui font partie des nombres complexes.
Par exemple, le nombre entier 1 est un nombre complexe !!!

 

Nous n’irons pas plus loin dans les familles de nombres, mais il faut savoir que l'histoire n’est pas finie : viendront ensuite, les hypercomplexes ou quaternions (notés ℍ), les octavions (notés ), les p-adiques (notés ), …

 

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