La droite d'Euler

La figure ci-dessous présente les 4 types de droites remarquables étudiées au collège.
(voir définitions des droites et des points de concours en bas de page)

Le centre de gravité G, l’orthocentre H et le centre O du cercle circonscrit sont alignés sur une droite appelée droite d’Euler du triangle.
Cette découverte, connue avant Leonhard Euler (1707 ; 1783), est en fait due au mathématicien écossais Robert Simson (1687 ; 1768) à qui on n'a pas attribué le nom car il existe dejà une droite de Simson.
Par une méthode algébrique, Euler propose cependant en 1765 une démonstration de cette propriété dans un ouvrage écrit en latin Solutions faciles de problèmes difficiles en géométrie.

Télécharger la figure dynamique au format GeoGebra.

MEDIANES
Dans un triangle, une médiane est un segment qui joint un sommet au milieu du côté opposé.
Les trois médianes d’un triangle sont concourantes en un point appelé le centre de gravité du triangle.

HAUTEURS
Dans un triangle, une hauteur est une droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé.
Les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes en un point appelé l’orthocentre du triangle.

MEDIATRICES
La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment et qui passe par son milieu.
Les trois médiatrices d’un triangle sont concourantes en un point qui est le centre du cercle circonscrit au triangle.

BISSECTRICES
La bissectrice d’un angle est la droite qui le partage en deux angles de même mesure.
Les trois bissectrices d’un triangle sont concourantes en un point qui est le centre du cercle inscrit dans le triangle.