La conjecture de Fermat

En mathématiques, on appelle conjecture, une règle qui n'a jamais été prouvée. On a vérifié cette règle sur beaucoup d'exemples mais on n'est pas sûr qu'elle soit toujours vraie.

Mais pourquoi la conjecture de Fermat a-t-elle été la plus célèbre d'entre toutes ?
Tout commence par le théorème de Pythagore. Encore lui !
Nous savons qu’il existe des solutions à l’équation x² + y² = z². Ce sont les longueurs des côtés d’un triangle rectangle, aussi appelés triplets pythagoriciens. Par exemple, (3, 4, 5) en est un.

Le mathématicien français Pierre de Fermat (1601 ; 1665) se pose alors la question suivante :
si l’on remplace les carrés par des cubes, existe-t-il des solutions non nulles à l’équation x³ + y³ = z³ ?
Essayons par exemple 3³ + 4³ = 91, mais 91 n’est pas un cube …
Fermat en arrive à affirmer que ce n’est pas possible pour les cubes ni même pour aucune puissance strictement supérieure à 2.

« Un cube n'est jamais la somme de deux cubes, une puissance quatrième n'est jamais la somme de deux puissances quatrièmes et plus généralement aucune puissance supérieure à 2 n'est la somme de deux puissances analogues. »

Et Fermat ajoute :

« J’ai trouvé une merveilleuse démonstration de cette proposition, mais la marge est trop étroite pour la contenir. »

Affirmation que Fermat, farceur ou vantard, n’est très certainement jamais arrivé à démontrer !!!

Voici maintenant la conjecture de Fermat exprimée dans le langage d’aujourd’hui :

« L’équation xⁿ + yⁿ = zⁿ n’a pas de solution en entiers strictement positifs, pour tout entier n strictement supérieur à 2. »

Ecouter Bertrand Hauchecorne qui explique la conjecture de Fermat
Extrait "Une vie, une oeuvre", France Culture, février 2015

Fermat établira tout de même une preuve pour n = 4.
Plus tard, le suisse Leonhard Euler (1707 ; 1783) propose une démonstration pour n = 3. En 1828, l’allemand Peter Lejeune-Dirichlet (1805 ; 1859) la démontre pour n = 5, puis en 1840, Gabriel Lamé (1795 ; 1870) et Joseph Liouville (1809 ; 1882) pour n = 7.
La course folle après la conjecture de Fermat est lancée. Les plus grands mathématiciens et savants s’affrontent pour être le premier à venir à bout de cette étonnante conjecture à l'énoncé si simple mais dont la démonstration semble inaccessible. Il faut dire que des récompenses très appréciables sont promises. L’Académie des sciences de Paris promet une médaille d’or et une somme de 300 000 francs or. La Société royale de Göttingen offre 50 000$ (actuel) correspondant au prix Wolfskehl crée en 1908.

C’est en 1993 que la conjecture défraie la chronique. Les médias de toutes parts annoncent la fin de ce grand mythe des mathématiques, qui résistait depuis plus de 350 ans à toutes les démonstrations.
Le héros s’appelle Andrew Wiles, un anglais né à Cambridge en 1953. Sa mère, professeur de mathématiques l’initie très jeune au maniement des nombres.
C’est à l’age de 10 ans qu’il tombe dans le piège de Fermat en empruntant à la bibliothèque un manuel d’histoire des mathématiques traitant de la conjecture de Fermat.

« Cela avait l’air si simple, et pourtant aucun des grands mathématiciens de l’histoire n’avait pu le résoudre. » Wiles

Ecouter Andrew Wiles
Extrait "Une vie, une oeuvre", France Culture, février 2015

Pas si simple ! Wiles doit travailler dans le plus grand secret, le risque est trop grand, pense-t-il de se faire voler sa démonstration. Seuls ses plus proches collègues sont au courant de ses travaux. Il faudra à Wiles sept années d’isolement et de labeur pour arriver à bout, croyait-il, le 23 juin 1993 de la conjecture de Fermat. A l’Institut Isaac Newton de Cambridge, Il expose sa démonstration devant une assemblée de savants. L'idée de Wiles est remarquable, en passant par les courbes elliptiques, il unifie différentes branches des mathématiques pour prouver la conjecture de Fermat...
... Mais après plusieurs semaines, on s’aperçoit que sa preuve comporte une faille.

Ecouter Andrew Wiles
Extrait "Une vie, une oeuvre", France Culture, février 2015

Même si Wiles tente corriger son erreur, après ce revers, c'est le doute puis le désarroi qui l'emportent.
Quand le matin du lundi 19 septembre 1994, assis à son bureau, Wiles a de façon tout à fait inattendue une incroyable révélation. Il réalise ce qui empêche sa demonstration de fonctionner et se remet alors au travail.
En mai 1995, il publie la correction de sa démonstration qui est ensuite officiellement reconnue dans le monde scientifique. Celle-ci fait tout de même plus de 1000 pages. Fermat avait raison de dire qu’elle ne pouvait tenir dans sa marge !!!

Il reçoit alors un prix spécial par le congrès international des mathématiciens qui attribue habituellement la médaille Field (l’équivalent du prix Nobel en mathématiques), les 300 000 francs or de l’Académie des sciences, le prix Wolfskehl et surtout la fierté de voir la conjecture de Fermat changer de statut et de nom pour devenir le Théorème de Fermat-Wiles.