La preuve que 1 est le plus grand entier

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Soit A le plus grand entier.
Si A est supérieur à 1 alors son carré A², est supérieur à A. Donc A n'est pas le plus grand entier. Ce qui est contradictoire avec l'hypothèse de départ.
Si A = 1, alors son carré est égal à 1, soit A lui-même. Donc 1 est le plus grand entier.

Et pourtant 1 n'est pas le plus grand entier. Alors où est l'erreur ?