La preuve que tout entier est égal à 1

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Nous partons de la formule de la somme des termes d'une suite arithmétique (vue au lycée) :
Pour tout entier n, 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2 (*)

L'égalité est vraie pout tout n, écrivons la au rang n-1 :
Pour tout entier n, 1 + 2 + 3 + ... + n-1 = (n-1)n/2

Soit en ajoutant 1 de chaque côté :
Pour tout entier n, 1 + 2 + 3 + ... + n-1 + 1 = (n-1)n/2 + 1

Soit encore :
Pour tout entier n, 1 + 2 + 3 + ... + n = (n-1)n/2 + 1 (**)

D'après (*) et (**) :

Pour tout entier n, n(n+1)/2 = (n-1)n/2 + 1
Pour tout entier n, n(n+1)/2 = [(n-1)n + 2]/2
Pour tout entier n, n(n+1) = (n-1)n + 2
Pour tout entier n, n² + n = n² - n + 2
Pour tout entier n, n = -n + 2
Pour tout entier n, 2n = 2
Pour tout entier n, n = 1.

Conclusion, tout entier est égal à 1.

Et pourtant tout entier n'est pas égal à 1. Alors où est l'erreur ?