Le ruban de Möbius

Ruban de Moebius d'après M.C.Escher

Un ruban de Möbius est une surface fermée formée d'un ruban à une seule face obtenu en collant les extrémités d’une bande de papier après les avoir retournées.

Cette surface a été découverte simultanément et indépendamment par deux mathématiciens allemands August Ferdinand Möbius (1790 ; 1868) et Johann Benedikt Listing (1808 ; 1882). L’histoire a retenu le nom de Möbius bien que Listing fut le premier à publier le résultat.

Ruban de Moebius par M.C.Escher, 1961

Pour réaliser un ruban de Möbius :
1. Découpe une bande de papier suffisamment longue et pas trop épaisse.
2. Avant d’assembler les extrémités de la bande de papier, fais effectuer un demi-tour à une des extrémités.
3. Assemble maintenant les extrémités à l’aide d’un bout de ruban adhésif.
4. Tu obtiens alors un ruban de Möbius.

Le ruban de Möbius n’a qu’une seule face. Ce qui veut dire qu’en partant d’un point quelconque du ruban (1), si on trace une ligne sans jamais lacher le stylo en suivant le ruban (2), on se retrouve à mi-chemin au point de départ mais de l’autre côté du ruban (3). On est pourtant toujours sur la même face ! Pour rejoindre le point de départ sur le « bon » côté (5), il faut continuer le tracé (4).

Le ruban de Möbius n’a qu’un seul bord. Pour s’en convaincre, il suffit de réaliser la même expérience que précédemment mais en suivant le bord du ruban.

Si on découpe un ruban de Möbius le long de sa ligne médiane, on obtient non pas deux morceaux mais un seul qui forme quatre demi-tour.

Pour obtenir deux morceaux, il faut couper une deuxième fois le ruban le long de sa ligne médiane.

Etonnante également, la bouteille de Klein fut imaginée en 1882 par le mathématicien allemand Felix Klein (1849 ; 1925). Comme le ruban de Möbius, cette surface ne possède qu’une seule face mais elle est de surcroît fermée et n’a pas d’intérieur.

Quelques liens pour en savoir plus :

• Delice de maths Des animations très bien faites pour aider à comprendre
• mathcurve Théorie topologique autour du ruban de Möbius
• Bibliographie