Les coniques

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Les premiers travaux significatifs sur les coniques remontent à Euclide d'Alexandrie (-320? ; -260?) et à Ménechme (milieu du IVème siècle avant J.C.) et seront très largement développés par Apollonius de Perge (-262 ; -190) dans "Les coniques".

Apollonius étudie et nomme les trois types de coniques :
- l'ellipse (du grec elleipein : manquer),
- la parabole (du grec parabolê : para = à côté ; ballein = lancer),
- l'hyperbole (du grec huperbolê : huper = au dessus ; ballein = lancer).

Il décrit leur construction à partir d'un cône de révolution coupé par un plan.

Pour comprendre le principe des sections coniques, il suffit de réaliser dans la pénombre une expérience simple à l'aide d'une lampe à abat-jour.
En inclinant l'abat-jour face à un mur, on projette un cône de lumière. Le mur est assimilé au plan de coupe.

1er cas : Toutes les génératrices du cône rencontrent le mur. Le cône de lumière se projette en une ellipse. Dans le cas particulier où l'axe du cône est perpendiculaire au mur, l'ellipse est un cercle.
	2ème cas : Une génératrice du cône est parallèle au mur. Le cône de lumière se projette en une parabole.
3ème cas : Des génératrices du cône ne rencontrent pas le mur et dans ce cas un deuxième cône de lumière intercepte le mur. Les cônes de lumière se projettent en une hyperbole.

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Intuitivement, on pourrait croire que les coniques se construisent en menant plusieurs arcs de cercle de centres et de rayons différents. Ceci est faux, les coniques ne se construisent pas à l'aide du compas.
Il existe cependant de nombreuses constructions point par point qui permettent de visualiser les coniques.
En voici quelques-unes :
- Exemples de constructions d'une ellipse et d'une parabole.
- Exemples de constructions d'une ellipse et d'une hyperbole.
- Exemple de construction d'une parabole.

A noter également un petit bricolage facile permettant de dessiner une ellipse. Pour cela, il faut se munir d'un morceau de carton, de deux punaises et d'un peu de ficelle.
On fixe la ficelle aux punaises plantées dans le carton et suffisamment éloignées de façon à ce que la longueur de la ficelle soit environ le double de l'écartement entre les punaises (dans le but d'obtenir une ellipse de taille et de forme "raisonnable").

Le tracé de l'ellipse s'obtient en faisant glisser le crayon le long de la ficelle en la maintenant régulièrement tendue.
En jouant sur l'écartement des punaises et la longueur de la ficelle, on obtient différentes ellipses.

Voir une méthode semblable de tracé sans retourner la ficelle. Merci à Emmanuelle Claisse pour l'idée et le film.

 

Les coniques ont passionné les savants de l’Antiquité, c’est pour cette raison qu'elles sont très présentes dans notre environnement.
Citons quelques exemples :

- Les arênes de Nîmes dont la forme est une ellipse.

- Le plafond elliptique de l'abbaye de la Chaise Dieu en Haute-Loire qui par une propriété géométrique de l'ellipse offrait la possibilité aux lépreux de venir se confesser.

En se plaçant aux foyers de l'ellipse, qui sont deux points uniques géométriquement définis (les punaises de l'ellipse citées plus haut), deux personnes suffisamment éloignées peuvent converser aisément en murmurant tout en conservant leur intimité. Des personnes placées en d'autres points ne pourront pas entendre la conversation.

En se refléchissant sur le plafond dont la forme est elliptique, les ondes sonores se propagent d'un foyer à l'autre.

- Les paraboles connaissent une propriété analogue mise en application pour les fours solaires ou les radars (paraboles TV par exemple). Les rayons du soleil tous parallèles se réfléchissent sur la parabole et convergent tous en un point, le foyer. L'énergie due au rayon du soleil se trouve concentrée et permet de chauffer.

Le principe de la parabole TV est le même, c'est pour cette raison que l'on trouve devant les paraboles (au foyer) un capteur qui récupère les ondes émises par les satellites.

- Mais la manière la plus simple de visualiser une parabole est de projeter de l'eau avec un jet d'eau.
La trajectoire de chute d'un corps lancé de façon non perpendiculaire au sol est une parabole.