Les fractales

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Le mot "fractale" vient du latin "fractus" qui signifie "brisé". En effet, une fractale est un objet géométrique «infiniment morcelé» dont des détails sont observables à une échelle arbitrairement choisie.
En zoomant sur une partie de la figure, on peut retrouver toute la figure, on dit qu’elle est auto similaire.

Même si un certain nombre de choses était déjà connu, on attribue la découverte des fractales à un polytechnicien français, Benoît Mandelbrot (1924 ; 2010).
Ses premières recherches datent de 1964 où il emploie le terme de self-similar lors d'une étude réalisée chez IBM. Mais c’est en 1975 qu’il expose ses travaux et donne le nom de "fractale" dans son ouvrage « Les objets fractals ».

La manière la plus simple d’obtenir une fractale, c’est de la trouver dans la nature.
(voir aussi le dossier La géométrie autour de nous)
Certains végétaux comme la fougère ou le chou possèdent de splendides fractales qui n’ont pas attendu Mandelbrot pour exister.
Les nuages ou les montagnes sont aussi des exemples de fractales mais ceux-là ne présentent pas d’autosimilarité.

Avec deux miroirs mis face à face vous pouvez aussi vous amuser à créer un objet fractal. Le miroir contient un miroir qui contient un miroir qui contient un miroir …

Quelques artistes nous offrent aussi de belles réalisations de fractales, comme M.C.Escher ou P.Raedschelders.
Sur la gravure d'Escher par exemple, on peut voir des diables et des anges semblables, rassemblés sous forme de pavage et qui semblent se reproduire à l'infini vers l'extérieur.

Cercle limite, M.C.Escher, 1960	Papillons, Raedschelders

En géométrie, la courbe de Koch (ou flocon de neige) est un exemple facile à construire pour les premiers rangs et qui permet de comprendre comment sont réalisés les objets fractals.
La transformation à appliquer est la suivante :
- partager un segment en trois,
- construire un triangle équilatéral qui repose sur le tiers central,
- effacer sa base.

Le flocon de neige s’obtient lorsque la figure initiale est un triangle équilatéral.
On applique la transformation décrite ci-dessus sur chaque côté du triangle. Puis on la répète sur tous les segments de la figure obtenue, puis on recommence et ainsi de suite…

Le principe d’appliquer la même transformation sur chaque partie nouvelle du graphique ainsi obtenu devient vite fastidieux. Certaines fractales beaucoup plus étonnantes et d’une beauté souvent mystérieuse par leur complexité font appel à l’informatique. Pour leur réalisation, il faut avoir quelques connaissances en programmation et savoir manier les nombres complexes (actuellement étudiés au lycée en terminal scientifique). Pour expliquer simplement et sans entrer dans les détails le tracé de ces fractales, il faut comprendre qu’à chaque pixel de l’écran de votre ordinateur sont associées ses coordonnées (x,y). Celles-ci subissent des opérations itérées à la fin desquelles on attribue une couleur au pixel.

Il existe de nombreuses familles de ces belles fractales, les plus connues sont celles extraites de l’ensemble de Mandelbrot (photo ci-dessus) et de l’ensemble de Julia.

Vous pouvez explorer à volonté les frontières de l’ensemble de Mandelbrot et observer de superbes fractales en cliquant sur le lien : mandelbrot (attention : il faut avoir installé la machine virtuelle Java de Sun )

Pour finir et pour se laisser emporter par "l'Art Mathématique", voici quelques-unes des réalisations aimablement prêtées par www.gecif.net.

 

 

Quelques liens sur le sujet :

• GECIF Le site français de référence sur les fractales. Hormis de très nombreuses et superbes images de fractales, on y trouve un historique, des explications ainsi qu'un logiciel à télécharger mais aussi utilisable en ligne et permettant d'explorer le confin des frontières de l'ensemble de Mandelbrot.
• fractal3D Une fractale 3D animée. Un peu long à charger mais ça vaut le coup !
• Nombres A consulter aussi.
• Fractal explorer 2.0 Un logiciel gratuit pour explorer les objets fractals.