Les sept problèmes du millénaire

Le 24 mai 2000, le Clay Mathematics Institute (CMI) présente au Collège de France sept problèmes majeurs des mathématiques. Chacun est doté d’un prix d’un million de dollars pour celui qui en arriverait à bout.
Malheureusement ces problèmes ne sont pas à la portée du profane et sont plutôt un défi à la communauté scientifique dans le but de faire progresser les recherches en mathématiques, en informatique et en physique.

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Pour rêver un peu et se laisser emporter par la mystérieuse beauté de ces conjectures, voici, énoncés de façon très concise les sept problèmes du millénaire :

La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer

Quand les solutions d’une équation algébrique sont situées sur une variété abélienne, la taille du groupe des solutions rationnels est reliée au comportement de la fonction Zeta ζ(s) associée au voisinage de s=1. Si ζ(1)=0 alors il y a une infinité de solutions rationnelles et réciproquement, si ζ(1)≠0, il y a seulement un nombre fini de solutions rationnelles.
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La conjecture de Hodge

Pour une certaine classe d'espace, les variétés algébriques projectives, appelées cycles de Hodge sont des combinaisons linéaires rationnelles d'objets ayant une réelle nature algébrique (les cycles algébriques).
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Les équations de Navier-Stokes

Le défi consiste à faire progresser les théories mathématiques liées aux équations de Navier-Stockes dans le but d’expliquer des phénomènes tel le mouvement des vagues produites par un bateau en déplacement.
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Le P problème et le NP problème

On appelle P problème tout problème qui consiste à trouver une liste d'éléments dans un ensemble donné et ce relativement à un critère fixé à l'avance. Le NP problème est opposé au P problème : il consiste à vérifier si une liste donnée est en adéquation avec les conditions données au préalable.
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La conjecture de Poincaré

Soit une variété compacte V simplement connexe, à 3 dimensions, sans bord. Alors V est homéomorphe à une hypersphère de dimension 3.
En 2006, le russe Gregori Perelman se voit décerner la médaille Fields pour avoir démontré la conjecture de Poincaré. Mais le mathématicien russe la refuse ainsi que la récompense de un million de dollars promise par la Clay Mathematics Instituts. La seule raison invoquée est qu'il se sentait isolé de la communauté mathématique internationale.
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L'hypothèse de Riemann

Les solutions de l'équation ζ(s)=0 se situent le long d'une ligne droite verticale, où ζ est la fonction Zeta de Riemann.
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La théorie de Yang-Mills

La théorie de Yang et Mills est construite sur un modèle géométrique expérimental qui décrit l'interaction forte des particules élémentaires. Elle n'est par contre pas comprise d'un point de vue théorique. Elle fait intervenir une propriété appartenant au monde de la mécanique quantique : certaines particules quantiques ont une masse positive alors que l'onde associée voyage à la vitesse de la lumière.
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David Hilbert

Cette initiative du CMI fait écho aux 23 problèmes que David Hilbert (1862 ; 1943) proposa au Congrès de Paris, un siècle plus tôt, le 8 août 1900. Selon lui, ces problèmes devaient inspirer les recherches en mathématiques pour le siècle qui s’ouvrait.

A l’heure actuelle, tous les problèmes ne sont pas résolus d’autant que le problème n°8 est l’hypothèse de Riemann énoncée plus haut et donc reprise dans les problèmes du millénaire.

Quelques liens pour en savoir plus :

• Clay mathematics institute Les descriptions officielles des sept problèmes du millénaire (en anglais)
• Les-mathematiques Traduction en français des pages du site du CMI présentant les sept problèmes du millénaire
• Images des mathématiques On y trouve des indications précises sur les problèmes de Hilbert
• Bibliographie