La preuve qu'un trapèze est toujours un parallélogramme

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Sur la figure ci-dessus, ABCD est un trapèze quelconque de bases [AB] et [CD].
On pose : AB = x et CD = y.
Les points E et F sont respectivement placés sur les droites (AB) et (CD) tels que : BE = y et DF = x.
Les droites (BD) et (EF) se coupent en G.
Les droites (AC) et (DB) se coupent en H.


En appliquant le théorème de Thalès dans les triangles ABH et CDH, on a : y/x = HD/HB
et donc HD = yHB/x
En appliquant le théorème de Thalès dans les triangles DFG et BEG, on a : y/x = GB/GD
et donc GB = yGD/x

Ainsi : HD - GB = y(HB - GD)/x = y(HG + GB - GH - HD)/x = y(GB - HD)/x
On a ainsi : HD - GB = y(GB - HD)/x
Et donc |x| = |y|.

Les côtés [AB] et [CD] sont donc parallèles et de même longueur.
On en déduit que le trapèze ABCD est un parallélogramme.

Et pourtant tout trapèze n'est pas un parallélogramme, alors où est l'erreur ?