Brève histoire des géométries

 

 

Le don du Nil

Les origines de la géométrie remontent aux babyloniens et aux égyptiens (2000 ans avant notre ère). Le théorème dit «de Pythagore» est déjà connu dans des cas particuliers. Sur des tablettes babyloniennes, on a retrouvé des problèmes à caractère géométrique (calculs d’aires) dont la résolution passe par l’algèbre (équations du second degré).

La géométrie naît des exigences de la vie pratique : architecture, fabrication et décoration d’objets, … Mais c’est aux crues répétées du Nil qu’on attribue les origines de la géométrie. Elles contraignent les arpenteurs égyptiens à retracer régulièrement les limites des propriétés agricoles afin de redistribuer les terrains de façon équitable.
Ces arpenteurs déterminent des longueurs, des surfaces divisées en rectangles, carrés et autres triangles. Ils utilisent la corde à 13 noeuds pour marquer les angles droits et sont ainsi nommés les tendeurs de cordes.

Pour l’historien grec Hérodote (-484 ; -425), la géométrie est un don du Nil. Il faut dire également qu'à cette époque et durant tout le Ier millinaire de notre ère, la géométrie se confond avec les mathématiques puisque tout problème mathématique passe pour sa résolution par des concepts et des représentations géométriques.

A cette époque, on sait calculer l’aire de quadrilatères (trapèzes, rectangles) ou de triangles isocèles mais les formules de calculs ne mènent qu’à des valeurs approchées.

C’est le scribe égyptien Ahmès qui par son, aujourd’hui célèbre, Papyrus Rhind nous rapporte ces informations.

Papyrus Rhind

 

Les Ecoles grecques

Les premiers pas de la géométrie grecque se font avec Thalès de Milet (-624 ; -548), connu pour avoir calculé la hauteur de la pyramide de Kheops.

La géométrie devient déductive. Fini l’à-peu-près, les formules mènent à des valeurs exactes, les propriétés ne sont plus admises sur des exemples, mais sont démontrées dans le cas général.

Deux écoles marquent cette période :

- La Fraternité pythagoricienne de Crotone, proche d'une secte, donne une interprétation mystique des nombres. On lui attribue la découverte de l’existence d’une longueur incommensurable telle que (voir Pythagore).

- L’Ecole d’Alexandrie, fondée en 331 avant J.C., centre intellectuel de l’époque, connaît trois des plus grands savants de l’Antiquité : Euclide d'Alexandrie (-320? ; -260?), Archimède de Syracuse (-287 ; -212) et Apollonius de Perge (-262 ; -190).
Les grandes découvertes du passé sont exposées et démontrées. Cette Ecole nous laisse une œuvre phénoménale, "Les éléments" (13 volumes), qui servira de base à la géométrie durant 2000 ans (voir Euclide).

 

Euclide d'Alexandrie (-320? ; -260?)

 

Commence ensuite une longue période de stagnation intellectuelle.
Avide de pouvoir et de conquêtes au détriment du développement des sciences, les romains contribueront à la décadence de la civilisation grecque.

 

La contribution arabe

Abu Arrayhan Muhammad ibn Ahmad al Biruni Perse (973 ; 1048)

 

Des avancées scientifiques s’accomplissent cependant en Orient et au Moyen-Orient chez les arabes et les indiens jusqu’au XIIIème siècle.

Les arabes traduisent les œuvres grecques, développent de nouvelles méthodes de calculs d’aires et de volumes et font progresser la trigonométrie. Ils étudient de nombreux problèmes de construction.

Citons notamment Muhammad al Biruni, Muhammad Abu'l-Wafa (940 ;998) ainsi que frères Banu Musa (vers 800).

 

L'occident

Flagellation du Christ - Piero della Francesca

En Europe, la Renaissance voit naître la géométrie projective. Les besoins en dessin et en peinture de vouloir imiter la nature de façon réaliste rendent nécessaire l’introduction d’une nouvelle méthode de représentation : la perspective.

Les règles de géométrie sont précises. L’architecte italien Filippo Brunelleschi (1377 ; 1446) est le premier à les présenter. Elles seront reprises ensuite par un second italien, Leone Battista Alberti (1404 ; 1472).
Un autre italien, Piero della Francesca (1412 ; 1492) écrit un ouvrage destiné aux peintres de l'époque De prospectiva pingendi (La Perspective en peinture) et rédigé à la manière d'un traité de géométrie qui comprend théorèmes et définitions. Ses brillantes études en mathématiques lui auraient permis d'en faire sa profession mais il se dirige très jeune vers les arts comme apprenti chez un artiste local pour devenir un remarquable peintre alliant une utilisation rigoureuse des règles de perspective et un respect de la tradition picturale religieuse.

L'annonciation, la Vierge et l'Enfant avec les Saints - Piero della Francesca

Le zéro se trouve au centre de la peinture de l'époque. Tout ce qui se trouve suffisamment éloigné dans la réalité se voit concentré en un point de dimension zéro (le point de fuite) contenant un espace infini.

Il faudra attendre le début du XVIe siècle avec un autre architecte, français cette fois, Gérard Desargues (1591 ; 1661), pour observer un véritable avancement dans géométrie projective.

Pourtant celle-ci tombera rapidement dans l’oubli pendant plusieurs siècles avec l’arrivée de la géométrie analytique exposée par René Descartes (1596 ; 1650) dans « La géométrie ». En inventant le concept de repère, il passe alors par l’algèbre pour simplifier les méthodes et les démonstrations en géométrie.

 

René Descartes (1596 ; 1650)

 

Au XIX ème siècle, la géométrie connaît un nouveau tournant avec la naissance des géométries non euclidiennes (voir Euclide).

L’allemand Felix Klein (1849 ; 1925) proposera une vue d’ensemble des géométries euclidiennes, non euclidiennes et projectives dans le « Programme d’Erlangen ».

 

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• Délices de maths
• Math93 l'histoire d'Alexandrie et de son Ecole
• Bibliographie