Euclide

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Euclide est un des plus grands mathématiciens de l’Antiquité et pourtant on ne connaît pas grand chose de sa vie.
Il aurait commencé ses études dans l’Académie, l’école d’Athènes fondée par Platon. Il y apprend la géométrie d’Eudoxe de Cnide (-408 ; -355) et de Théétète d'Athènes (-415 ; -369).
On sait qu’il vit à Alexandrie en Egypte, ville érigée par Alexandre le Grand en 331 avant J.C. et célèbre pour son phare aujourd'hui détruit.
Dans la prestigieuse Ecole d’Alexandrie, il dirige une équipe de mathématiciens qui participent à l’écriture de son œuvre. Cette école connaîtra plus tard d’autres savants tels qu’Archimède de Syracuse (-287 ; -212) et Apollonius de Perge (-262 ; -190).

Copie en grec des Eléménts (IXème siècle)

L’ œuvre phénoménale, « Les éléments », que nous laisse Euclide, servira de base à toute la géométrie pendant plus de 2000 ans. Après la Bible, c'est l'ouvrage qui possède le plus d'éditions. Une vraie encyclopédie, composée de 13 livres, qui traite des figures géométriques, des polygones inscrits et circonscrits à un cercle, des proportions, de la géométrie dans l’espace ainsi que des nombres. Deux autres livres seront complétés plus tard par Archimède (cercles, cylindres, Apollonius (cônes, coniques : ellipse, parabole, hyperbole).

Les premières démonstrations rendent cette œuvre novatrice pour l’époque. Euclide apporte des définitions rigoureuses et démontre les grands théorèmes de ses ancêtres, comme ceux de Thalès de Milet (-624 ; -548) et Pythagore de Samos (-569 ; -475) par exemple.

Dans "Les éléments", on trouve en particulier les cinq postulats qui fondent les bases de la géométrie.
« Postulat » vient du latin « postulare = demander ». Un postulat est un principe que l’on demande d’accepter, qui est admis pour établir une démonstration ou pour la poursuite d’une théorie.

Postulat 1 :
Par deux points distincts, il passe une droite et une seule.

 

Postulat 2 :
Tout segment est prolongeable en une droite.

 

Postulat 3 :
Deux points distincts étant donnés,
il passe un cercle et un seul de centre le premier point et passant par le second.

 

Postulat 4 :
Tous les angles droits sont égaux entre eux.

 

Postulat 5 :
Par un point extérieur à une droite, il passe une droite et une seule parallèle à la droite donnée.

Ce dernier postulat aussi appelé Postulat d’Euclide est le fondement de la géométrie euclidienne.
Puisqu’il est admis, un mathématicien russe Nicolaï Ivanovitch Lobatchevski (1793 ; 1856), un hongrois János Bolyai (1802-1860) et un allemand Carl Friedrich Gauss (1777-1855) affirmeront sa négation :

« Il existe une infinité de parallèles passant par un point extérieur à une droite donnée. »

Même si cela peut paraître surprenant, ils construisent, comme Euclide une nouvelle géométrie complète et cohérente, la première géométrie non-euclidienne.

Lobatchevski

Par la suite, d’autres géométries non euclidiennes seront créées comme la géométrie sphérique de l'Allemand Bernhard Riemann (1826-1866) :

« Il n'existe pas de parallèle passant par un point extérieur à une droite donnée. »

Un exemple "concret" de cette géométrie se trouve par exemple sur la sphère :
« Deux droites quelconques sont sécantes en deux points. (!!!) »

Dans le livre XIII, Euclide étudie aussi les cinq polyèdres réguliers (dits de Platon). Il démontre qu’il en existe cinq et cinq seulement : le tétraèdre, l'octaèdre, l’icosaèdre, le cube et le dodécaèdre.
(Les faces d’un polyèdre régulier sont des polygones réguliers tous identiques.)

Les livres VII, VIII et IX parlent d'arithmétique (science des nombres). Euclide travaille en particulier sur les nombres premiers (nombre ayant aucun diviseur autre que 1 et lui-même) et prouve entre autre que leur nombre est infini. Il ne l'affirme pas de cette manière car les grecs de l'Antiquité refusent toute idée de la notion d'infini actuelle. Il énonce :
« Les nombres premiers sont plus nombreux que toute multitude de nombres premiers proposés. »
Sa démonstration va dans ce sens. Soit un nombre premier : 7 par exemple. Démontrons qu'il en existe un plus grand. Formons alors le produit des nombres premiers inférieurs ou égaux augmenté de 1, soit 2x3x5x7+1. Ce nombre n'est pas divisible par 2, ni par 3, 5 ou 7. Il est donc premier et plus grand que 7.
Ce raisonnement peut être reproduit avec tout nombre premier.

Il invente aussi un algorithme bien célèbre qui porte aujourd’hui le nom d’algorithme d’Euclide permettant de calculer le PGCD de deux nombres. Algorithme qu'il utilise également pour donner une méthode permettant de vérifier que deux nombres sont premiers entre eux.

Son œuvre ne s’arrête pas aux "Eléments". Il énonce 94 propositions sur les figures dans « Data », il étudie des partages de constructions dans « Les divisions », il étudie les perspectives dans « Optique » et dans «Phénomène», il traite d’astronomie.

Si vous voulez en savoir plus, cliquez sur les liens suivants :

• CultureMath, un article complet et très illustré sur le savant.
• Mathix un article très intéressant et fort illustré
• TrigoFACILE une rubrique très complète sur le sujet
• math93 très complet aussi
• Internet Archive Les éléments d'Euclide par Oliver Byrne
• m@ths et tiques Les cinq polyèdres de Platon
• Bibliographie

Avec le compas, Euclide (vu par Raphaël)