Le nombre Pi

 

 

Pi est un nombre qui a fasciné tant de savants depuis l'antiquité. Si ce nombre remporte un tel succès, c'est d'abord parce qu'il recèle de propriétés passionnantes mais surtout par sa nature qui en fait un nombre d'exception.
Pi est un nombre irrationnel (c'est à dire qu'il s'écrit avec un nombre infini de décimales sans suite logique).
Les premières sont :
3,14159265358979323846264338327950288419716939937510582.
Dans la pratique, on utilise 3,14 mais il est souvent aisé de retenir 22 septièmes ou racine de 10 pour valeur approchée de Pi.

Mais l'irrationalité de Pi est encore plus étonnante que celle de par exemple, puisque pour ce dernier, on sait au moins qu'il est solution de l'équation x² = 2 (Quel nombre faut-il multiplier par lui-même pour trouver 2 ?). Alors que pour Pi, il n'existe pas une telle équation. Le mathématicien allemand Carl Louis Ferdinand von Lindemann (1852 - 1939) l'a démontré et qualifiera ce nombre de transcendant. (voir "La classification des nombres")

 

Les décimales de Pi ont été la proie des savants depuis près de 4000 ans. Une des plus anciennes approximations de Pi se trouve sur le célèbre papyrus Rhind copié par le scribe Ahmes.
Citons de lui : " L'aire du cercle de diamètre 9 coudées est celle du carré de côté 8 coudées. "
Ce qui revient à prendre pour Pi la valeur (16/9)² soit environ 3,16. Nous sommes en 1800 avant J.C.

Papyrus Rhind

 

Chez les babyloniens, on a retrouvé à Suse (Mésopotamie) des tablettes en écriture cunéiforme qui présentent des calculs d'aires du disque menant à prendre pour Pi la valeur 3 + 1/8 = 3,125.
Cette approximation sera reprise en Inde dans les Sulvasutras (livres de règles hindoues) entre 400 et 200 avant notre ère.

 

Au IIIeme siècle avant J.C., dans son ouvrage "De la mesure du cercle", Archimède de Syracuse (-287 ; -212) commence par établir que le rapport de la surface d'un disque au carré de son rayon est égal au rapport de son périmètre à son diamètre.
Archimède s’inspire ensuite de la méthode d’exhaustion due à Eudoxe de Cnide (-408 ; -355) qui consiste à encadrer un cercle de rayon 1 par des polygones réguliers dont il sait calculer le périmètre de façon précise. Il applique cette méthode en prenant des polygones à 96 côtés et obtient une valeur approchée de la circonférence pour en déduire un encadrement de Pi :

 

En Inde, le plus ancien document connu, le Siddhanta, datant de 380, nous donne comme approximation 3 + 177/1250 = 3,1416 qui sera égalée au VIème siècle par Aryabhata l'Ancien (476 ; 550).

 

En Chine, Liu Hui utilise, en 263 de notre ère, la méthode d'Archimède avec des polygones à 192 côtés puis 3072 côtés pour trouver une approximation de Pi au cent-millième.
Au Veme siècle, les calculs sont simplifiés grace au système décimal. Tsu Chung Chih (430 ; 501) trouve alors une approximation au millionième près (3,141592) : la fraction 355/113 (facile à retenir en lisant de bas en haut : "11,33,55").

 

Plus tard les arabes poussent plus loin encore les approximations de Pi. L'astronome perse de Samarkand Jemshid al Kashi (1380 ; 1429) applique lui aussi la méthode d'Archimède pour calculer une valeur approchée à 14 décimales exactes.

 

En occident, il faut attendre le XVIème siècle pour trouver les premières avancées sérieuses sur le sujet bien que Claude Ptolémée (90? ; 160?) et Léonard de Pise dit Fibonacci (1180 ; 1250) aient proposé des approximations intéressantes de Pi.
En 1593, François Viete (1540 ; 1603) obtient une approximation à 9 décimales grace à des méthodes analytiques novatrices mais peu efficaces où Pi se calcule par des produits infinis dont chaque facteur se déduit du précedent.
En 1609, l'allemand Ludolph van Ceulen (1540 ; 1610) reprend la méthode d'Archimède avec des polygones à 60 x 2³³ côtés !!! Il calcule ainsi Pi avec 34 décimales exactes.
A partir du XVII ème siècle, les recherches vont s'accélérer et les records se succéder. C'est le temps de l'analyse et des mathématiciens tels que John Wallis (1616 ; 1703) , Isaac Newton (1642 ; 1727), Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646 ; 1716), John Machin (1680 ; 1751) ou James Stirling (1692 ; 1770) concoivent des formules de calculs infinis de plus en plus performantes.

La notation , 16e lettre de l'alphabet grec, n'apparaît qu'en 1647. Elle est due à l'anglais William Oughtred (1574 ; 1660) qui l'utilise pour nommer le périmètre d'un cercle. Il s'est inspiré d'Archimède qui désignait la longueur de la circonférence par le mot "περιμετροξ" (périmètre).
Toutefois, il faudra attendre Leonhard Euler (1707 ; 1783) et le succès de son ouvrage "Introduction à l'Analyse infinitésimale" (1748) pour que la lettre π s'impose définitivement comme notation du nombre Pi.

 

Signalons encore un mathématicien remarquable, l'indien Srinivasa Ramanujan (1887 ; 1920). Ce jeune génie des nombres est doué d'une intuition fabuleuse et possède une aptitiude rare au calcul. Il fait de nombreuses découvertes mais la plupart restent sans démonstration. Ramanujan propose des formules permettant d'approcher π. Leur efficacité fait que certaines sont encore utilisées pour la programmation des ordinateurs calculant les décimales de π.
Voici une des belles formules découverte en 1910 par Ramanujan qui permet de calculer 8 décimales de π à chaque itération :

Srinivasa Ramanujan

En 1994, David Chudnovsky et les frères Gregory dépassent Ramanujan en proposant une formule fournissant 14 décimales à chaque itération :

 

Le 16 août 2021, une équipe de recherche suisse de l'Université des Sciences appliquées des Grisons, établit le nouveau record de 62 800 milliards de décimales de π.

 

Vous pouvez également télécharger des décimales de en cliquant sur les liens suivants :

• 10 000 décimales de Pi
• 100 000 décimales de Pi
• 1 000 000 décimales de Pi (à télécharger)

Pour ceux qui en veulent encore plus, il est possible de télécharger un petit logiciel Pifast (en anglais) qui vous propose de calculer, à l'aide différentes méthodes, le nombre de décimales que vous souhaitez. Une fois le calcul terminé, les décimales sont automatiquement rangées dans un fichier à part.

 

Si vous êtes plus "lettres" que "nombres", il existe un petit poème qui permet de mémoriser les premières décimales de Pi.

On peut aussi trouver sur internet le club des personnes connaissant par coeur plus de 1000 décimales de Pi : The 1000-club. Actuellement, le record est détenu par un japonais, Hiroyuki Goto, qui connaît 42195 décimales. Vous vous demandez quel est l'intérêt d'accomplir de telles prouesses ... mais pour rien bien sûr ... quand on aime, on "compte" !

 

Si vous souhaitez aller plus loin, il existe de très nombreux sites qui traitent du nombre Pi. En voici quelques uns :

• I am in Pi (en anglais) Pour trouver sa date de naissance cachée dans les décimales de Pi.
• pi314.net Sur ce très bon site, vous trouverez l'histoire du nombre Pi, des articles ainsi que de belles photos et des fonds d'écran.
• Science en cours Petite video de 32min présentant quelques exemples célèbres de calculs approchés de Pi
• Les aiguilles de Buffon une méthode originale donnant une approximation de Pi.
• Les Shadoks et Pi : un site amusant sur Pi réalisé par un amateur des Shadoks et ... de Pi (bien sûr) !
• Cité des sciences Cycle de 3 conférences filmées sur des nombres extraordinaires (pi, nombre d'or et racine de 2).
• Bibliographie

 

Archimède et le nombre Pi