Histoire des fractions

 

 

En Mésopotamie

Vers 3000 avant J.C., dans la région de Sumer apparaissent les premières représentations de fractions pour des cas particuliers : 1/120 ;1/60 ;1/30 ;1/10 ; 1/5.

Au début du IIème millénaire avant J.C., les babyloniens utilisent une écriture, dite cunéiforme, qui permet de représenter des grands nombres mais également des cas particuliers de fractions. Le système de numération est sexagésimal (base 60) et combine le principe additif et le principe de position.
Dans cette écriture, les fractions se représentent avec des dénominateurs de 60 ou 3600 (60²).
Les nombreux diviseurs de 60 permettent de représenter facilement les fractions 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/12, 1/15, 1/20 ou 1/30.

Dans l’écriture babylonienne, il n'existe que deux symboles : le "clou vertical" et le "chevron". Les neuf premiers chiffres se représentent par répétitions de clous verticaux. 10 est représenté par le chevron. Pour écrire les nombres de 11 à 59, on répète les symboles autant de fois que nécessaire. Le nombre 60 se représente à nouveau par le clou. Cette règle s’applique pour les entiers comme pour les numérateurs de fractions.

Le système de numération babylonien, parfois ambiguë (voir exemple ci-dessous), n’empêche pas les astronomes d’effectuer des calculs sophistiqués lorsque plusieurs interprétations sont possibles. Le contexte leurs permet en général d’évaluer un ordre de grandeur du nombre et d’éviter ainsi la confusion.

En Egypte

Au IIIème millénaire avant J.C., en Egypte, les scribes écrivent les nombres sur des papyrus sous forme de hiéroglyphes. Les égyptiens utilisent un système de numération (reposant sur le principe additif). Ils représentent les fractions de type 1/n (fractions unitaires) en plaçant le symbole de bouche au dessus du dénominateur.

Seules certaines fractions disposent de symboles spécifiques. Il s’agit de 1/2, 1/3, 2/3 et 1/4 :

Toutes les fractions sont ainsi exprimées comme somme de fractions unitaires. On peut expliquer ce choix par soucis de grande précision.
Par ailleurs, la décomposition n’est pas nécessairement la plus simple possible car elle doit se faire avec des fractions différentes. On privilégiera par exemple 3/5 = 1/10 + 1/2 devant 3/5 = 1/5 + 1/5 + 1/5.
Dans leur système d’écriture, la duplication (multiplication par 2) joue alors un rôle essentiel. Les égyptiens disposent d’ailleurs de tables de décomposition du double d’une fraction donnée.
Dans le langage d’aujourd’hui, 2/7 se décomposerait ainsi :
2/7 = 1/7 + 1/7
= 1/14 + 1/14 + 1/7
= 1/28 + 1/28 + 1/14 + 1/7
= 1/28 + (1/28 + 1/14 + 1/7)
= 1/28 + 1/4
La dernière réduction s’obtient à l’aide d’une table de décomposition.
Le célèbre papyrus Rhind s’ouvre sur une table de ce type. On y trouve des décompositions de fractions de type 2/n (n impair) en fractions unitaires.

A propos des fractions égyptiennes, il existe un épisode sanglant de la mythologie : Seth, le dieu de la violence et incarnation du mal, arrache l’œil à Horus, dieu à tête de faucon et à corps d’homme. Cet œil qui est appelé Oudjat, Seth le partage en six morceaux et les repend à travers l’Egypte. Thot, le dieu magicien à tête d’ibis reconstitue l’œil, symbole du bien contre le mal. Chacune de ses parties symbolise une fraction de numérateur 1 et de dénominateurs 2, 4, 8, 16, 32 et 64 (voir représentation sur l’image). Mais la somme de ces parts n’est pas égale à 1 (l’œil entier). Thot accordera le 64ème manquant à tout scribe recherchant et acceptant sa protection.

En Grèce

Au Vème siècle avant J.C., les grecs possèdent un système de numération alphabétique et apportent des progrès non négligeables à l’écriture fractionnaire des nombres. Pour eux, un nombre est nécessairement associé à une grandeur géométrique. Leur conception de nombre rationnel s’accorde ainsi à un rapport de longueurs. Bien que leurs notations soient un peu lourdes, les grecs effectuent des calculs fractionnaires compliqués.
Certaines fractions unitaires sont notées par le symbole correspondant au nombre du dénominateur muni d’un ou deux accents.
Par exemple, 1/3 se note : γ’.
D’autres fractions se notent par le numérateur marqué d’un accent suivi du dénominateur marqué de deux accents. D'autres encore possèdent un nom qu'il leurs est propre.

Archimède de Syracuse (-287 ; -212) note par exemple la fraction 10/71 utilisée dans son approximation du nombre Pi par Lοα’. Diophante d'Alexandrie (IIIème siècle de notre ère) commence à utiliser une notation moins ambiguë qui place le dénominateur « en exposant » du numérateur. Dans son étude de la musique, Pythagore de Samos (-569 ; -475) aurait également usé des fractions. Une légende raconte à ce sujet comment Pythagore a posé les bases de la musique : Dans une forge, Pythagore écoute résonner une enclume frappée par des marteaux de masses différentes et comprend que les différences de résonances de l’enclume répondent à une loi mathématique. Il montre par exemple qu’à partir d’un DO une corde deux fois plus courte permettrait d’entendre un DO élevé d’une octave, une corde trois fois plus courte donnerait un SOL etc…

En Inde

Avant les arabes, les savants indiens utilisent une notation proche de la notre mais sans la barre de fraction. Bhaskara (1114 ; 1185) note couramment les fractions en surmontant le dénominateur du numérateur.

Au Moyen-Orient

La notation fractionnaire avec la barre est un héritage des arabes.
Le perse Abu'l-Wafa (940 ; 998) est un des premiers à accorder le statut de nombre à tout rapport de grandeurs.

En 1427, Jemshid al Kashi (1380 ; 1430), astronome de Samarkand, donne une définition des fractions décimales, expose leur théorie et montre comment décomposer toute fraction en somme de fractions décimales.
Al Kashi détaille les techniques opératoires en expliquant qu’en utilisant les fractions décimales, les opérations sur les fractions se ramènent à des opérations sur les entiers. Il conçoit également des tableaux de conversion de fractions décimales en fractions sexagésimales antérieurement utilisées par les babyloniens.

Jemshid al Kashi

En Occident

Dès le XIIème siècle, le traducteur anglais Adelard de Bath (1075 ; 1160) utilise dans sa traduction du perse Mohammed al Khwarizmi (780 ; 850) le mot fractiones (« kasr » en arabe pour signifier rompu ou fracturé). Au Moyen Age en Europe, les fractions sont en effet appelées nombres rompus.

Au XIVème siècle, le mathématicien français Nicole Oresme (1325 ; 1382) empreinte la notation des fractions avec barre due aux arabes dans son ouvrage sur les calculs et les exposants fractionnaires « Algorismus proportionum ». C’est dans ce même ouvrage, que sont définis pour la première fois les termes « numérateur » et « dénominateur ». En 1579, un autre français, François Viète (1540 ; 1603), incite l’usage des fractions décimales devant les fractions sexagésimales : « En mathématiques les soixantièmes et les soixantaines doivent être d’un usage rare ou nul. Au contraire les millièmes et les mille, les centièmes et les centaines, les dixièmes et les dizaines doivent être d’un usage fréquent ou constant. » Pourtant l’usage des fractions sexagésimales sera maintenu en astronomie durant le XVIème siècle. Avec les fractions décimales, le belge Simon Stevin (1548 ; 1620) donnera naissance aux nombres décimaux dont l’écriture en ligne sera plus commode pour les calculs.

Nicole Oresme

 

Sur le sujet :

• Le chiffre Petite histoire des fractions
• Bibliographie