Les nombres parfaits

Un nombre égal à la somme de ses diviseurs propres est parfait. Un diviseur propre est un diviseur autre que le nombre lui-même.
Le premier nombre parfait est 6. En effet 1, 2 et 3 sont les diviseurs propres de 6 et 1+2+3=6.
28 est également un nombre parfait : 1+2+4+7+14=28.

Les nombres parfaits sont rares, il n’en existe que trois inférieurs à 1000 qui sont 6, 28 et 496.
Ensuite vient 8128, puis 33 550 336,
8 589 869 056,
137 438 691 328,
2 305 843 008 139 952 128 (découvert par Leonhard Euler),
2 658 455 991 569 831 744 654 692 615 953 842 176, …

Actuellement, 51 nombres parfaits sont connus. Le plus grands possède 12 640 858 chiffres et est égal à :
2^{20 996 010}(2^{20 996 011}-1).
Comme pour le plus grand nombre premier, c’est le projet GIMPS qui détient le record.

Euclide

Dans le IXème livre des Eléments, Euclide d’Alexandrie (-320? ; -260?) expose une façon de générer des nombres parfaits :

"Lorsque la somme d’une suite de nombres doubles les uns des autres est un nombre premier, il suffit de multiplier ce nombre par le dernier terme de cette somme pour obtenir un nombre parfait."

1+2=3 qui est premier donc 2x3=6 est parfait.
1+2+4=7 qui est premier donc 4x7=28 est parfait.
1+2+4+8=15 n’est pas premier.
1+2+4+8+16=31 est premier donc 16x31=496 est parfait.

En découle une formule qui porte aujourd’hui le nom de Formule d’Euclide :
2^p-1(2^p - 1) est parfait si p et (2^p - 1) sont premiers.

Nous retrouvons la formulation donnée plus haut du 40ème nombre parfait.

Jadis les nombres parfaits étaient considérés comme supérieurs à tous les autres. On voyait en eux un rôle mystique. Citons Saint Augustin dans "La cité de Dieu" (420 après J.C.) : "Six est un nombre parfait en lui même, non parce que Dieu a créé toutes choses en six jours, mais Dieu a créé toutes choses en six jours parce que ce nombre est parfait."

Les conjectures en rapport avec les nombres parfaits sont nombreuses :
En mathématiques, on appelle conjecture, une règle qui n'a jamais été prouvée. On l’a vérifiée sur beaucoup d'exemples mais on n'est pas sûr qu'elle soit toujours vraie.

-Les nombres parfaits d’Euclide sont tous pairs puisque l’un des facteurs est une puissance de 2. Mais rien ne prouve pour l’instant qu’il n’existe pas de nombres parfaits impairs.
-Par ailleurs, il est aisé de constater que tous les nombres parfaits cités plus haut se terminent par 6 ou 28.
-Un autre problème qui reste ouvert est la preuve de l’infinitude des nombres parfaits.

Nicomaque

Le philosophe et mathématicien Nicomaque de Gérase (200 après J.C.) étudie les nombres parfaits en les comparant aux nombres déficients (nombre supérieur à la somme de ses diviseurs propres) et aux nombres abondants (nombre inférieur à la somme de ses diviseurs propres). Il trouve les quatre premiers nombres parfaits.

Voici comment il les définit dans son ouvrage « Arithmetica » :

« … il arrive que, de même que le beau et le parfait sont rares et se comptent aisément, tandis que le laid et le mauvais sont prolifiques, les nombres excédents et déficients sont en très grand nombre et en grand désordre ; leur découverte manque de toute logique. Au contraire, les nombres parfaits se comptent facilement et se succèdent dans un ordre convenable ; on n'en trouve qu'un seul parmi les unités, 6, un seul dans les dizaines, 28, un troisième assez loin dans les centaines, 496 ; quant au quatrième, dans le domaine des mille, il est voisin de dix mille, c'est 8 128. Ils ont un caractère commun, c'est de se terminer par un 6 ou par un 8, et ils sont tous invariablement pairs. »

Si les nombres parfaits sont rares, les nombres amiables ne le sont guère moins. Deux nombres sont amiables (on dit aussi amis) si la somme des diviseurs propres de l’un est égale à l’autre et réciproquement.

Le premier couple de nombres amiables (220 , 284) aurait été découvert par les pythagoriciens.
Somme des diviseurs propres de 220 : 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284
Somme des diviseurs propres de 284 : 1+2+4+71+142=220.

A ce sujet, on attribue à Pythagore une citation :

« Un ami est l’autre moi-même comme sont 220 et 284. »

Le second couple de nombres amiables fut découvert par Pierre de Fermat (1601 ; 1665), il s’agit de 17296 et 18416. René Descartes (1596 ; 1650) découvrit le troisième : 9437056 et 9363584.
Aujourd’hui plusieurs milliers de couples sont connus. Le tableau ci-dessous en présente les premiers.

Quelques liens traitant du sujet :

• NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Un dossier très intéressant sur les nombres parfaits, déficients et abondants
• recreomath donne la liste des 40 nombres parfaits connus
• Bibliographie