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On a alors EMBED Equation.DSMT4 et pour tout entier naturel n, la relation matricielle de rcurrence : EMBED Equation.DSMT4 . En effet : EMBED Equation.DSMT4 c) Soit une suite numrique EMBED Equation.DSMT4 dfinie par une relation de rcurrence d'ordre 2 : EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 . On pose pour tout entier naturel n : EMBED Equation.DSMT4 On pose encore : EMBED Equation.DSMT4 . On a alors EMBED Equation.DSMT4 et pour tout entier naturel n, la relation matricielle de rcurrence : EMBED Equation.DSMT4 . En effet, EMBED Equation.DSMT4 2) Terme gnral d'une suite de matrices Proprit : Soit une suite de matrices colonnes EMBED Equation.DSMT4 de taille p telle que pour tout entier naturel n, on a EMBED Equation.DSMT4 o A est une matrice carre de taille p. Alors, pour tout entier naturel n, on a : EMBED Equation.DSMT4 . Dmonstration : On dmontre cette proprit par rcurrence. Initialisation : EMBED Equation.DSMT4 car EMBED Equation.DSMT4 Hrdit : - Hypothse de rcurrence : Supposons qu'il existe un entier k tel que la proprit soit vraie : EMBED Equation.DSMT4 - Dmontrons que : La proprit est vraie au rang k + 1 : EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 Conclusion : La proprit est vraie pour n = 0 et hrditaire partir de ce rang. D'aprs le principe de rcurrence, elle est vraie pour tout entier naturel n, soit : EMBED Equation.DSMT4 . Mthode : Calculer des termes d'une suite l'aide de matrices Vido HYPERLINK "https://youtu.be/62U34Kl4o1I" https://youtu.be/62U34Kl4o1I Soit deux suites numriques couples EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 dfinies pour tout entier naturel n par : EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 Calculer EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 . On pose pour tout entier naturel n : EMBED Equation.DSMT4 On pose encore : EMBED Equation.DSMT4 . On a alors EMBED Equation.DSMT4 et pour tout entier naturel n, la relation matricielle de rcurrence : EMBED Equation.DSMT4 . On alors EMBED Equation.DSMT4 et donc en particulier EMBED Equation.DSMT4 . Soit en s'aidant de la calculatrice : EMBED Equation.DSMT4 On en dduit que EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 . II. Convergence de suites de matrices colonnes Dfinitions : On dit qu'une suite de matrices colonnes EMBED Equation.DSMT4 de taille p est convergente si les p suites dont les termes sont les p coefficients de EMBED Equation.DSMT4 sont convergentes. La limite de cette suite est la matrice colonne dont les coefficients sont les p limites obtenues. Dans tous les autres cas, on dit que la suite est divergente. Exemples : Vido HYPERLINK "https://youtu.be/dbP7R-9Q2_s" https://youtu.be/dbP7R-9Q2_s a) La suite EMBED Equation.DSMT4 dfinie pour tout entier naturel n par EMBED Equation.DSMT4 est divergente car EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 . b) La suite EMBED Equation.DSMT4 dfinie pour tout entier naturel n non nul par EMBED Equation.DSMT4 est convergente et sa limite est la matrice colonne EMBED Equation.DSMT4 . Proprit : EMBED Equation.DSMT4 est une suite de matrices colonnes de taille p dfinie par la relation matricielle de rcurrence EMBED Equation.DSMT4 o A est une matrice carre de taille p et B est une matrice colonne p lignes. Si la suite EMBED Equation.DSMT4 est convergente alors sa limite U est une matrice colonne vrifiant l'galit EMBED Equation.DSMT4 . Dmonstration : EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 . Par unicit des limites, on a EMBED Equation.DSMT4 . Mthode : Recherche d'une suite constante vrifiant une relation de rcurrence Vido HYPERLINK "https://youtu.be/C-2-1yf-O4A" https://youtu.be/C-2-1yf-O4A Soit une suite EMBED Equation.DSMT4 de matrices colonnes dfinies pour tout entier naturel n par EMBED Equation.DSMT4 avec EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 . Rechercher, si elle existe, la suite EMBED Equation.DSMT4 constante. Rsolvons l'quation matricielle EMBED Equation.DSMT4 . Soit EMBED Equation.DSMT4 soit encore EMBED Equation.DSMT4 Et donc EMBED Equation.DSMT4 . EMBED Equation.DSMT4 A l'aide la calculatrice, on obtient : EMBED Equation.DSMT4 . Et donc : EMBED Equation.DSMT4 . La suite EMBED Equation.DSMT4 constante cherche est donc EMBED Equation.DSMT4 . III. Graphes et marches alatoires Graphe Dans une quipe de football, on tudie les passes que se font trois attaquants A, B et C. Les probabilits qu'un attaquant passe le ballon un autre sont reprsentes sur le schma suivant. Par exemple, la probabilit que l'attaquant A passe le ballon l'attaquant B est gale EMBED Equation.DSMT4 . Un tel schma est appel un graphe. A, B et C sont appels les sommets du graphe. 2) Marche alatoire On considre la variable alatoire Xn prenant les valeurs A, B ou C l'tape n. A, B ou C s'appelle les tats de Xn. Par exemple, X3 = B signifie que l'attaquant B possde le ballon aprs la 3e passe. La suite de variables alatoires EMBED Equation.DSMT4 est appele marche alatoire sur l'ensemble des issues EMBED Equation.DSMT4 . Dans une marche alatoire, l'tat du processus l'tape n + 1 ne dpend que de celui l'tat n, mais non de ses tats antrieurs. Ainsi, la probabilit que l'attaquant C possde le ballon ne dpend que de la position prcdente du ballon (en A ou en B) mais non de ses positions antrieures. 3) Probabilit de transition On considre la loi de probabilit de Xn, appele probabilit de transition, qui donne la probabilit qu'un attaquant possde le ballon l'tape n (n-ime passe). On note par exemple EMBED Equation.DSMT4 la probabilit que le ballon se trouve chez l'attaquant C aprs la n+1-ime passe sachant que c'est l'attaquant A qui envoie le ballon. Il s'agit d'une probabilit conditionnelle. 4) Matrice de transition Dfinition : La matrice de transition d'une marche alatoire est la matrice carre dont le coefficient situ sur la ligne i et la colonne j est la probabilit de transition du sommet j vers le sommet i. Vido HYPERLINK "https://youtu.be/gmm_YF6QTlI" https://youtu.be/gmm_YF6QTlI Dans l'exemple, la matrice de transition est : On trouve par exemple l'intersection de la premire ligne et de la deuxime colonne la probabilit que le ballon arrive chez l'attaquant A sachant qu'il se trouvait chez l'attaquant B. Remarques : - Le coefficient EMBED Equation.DSMT4 de la matrice M est nul car la probabilit que l'attaquant A garde le ballon est nulle. Il en est de mme pour les coefficients EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 . - La somme des coefficients d'une mme colonne d'une matrice de transition est gale 1. Dfinition : La matrice colonne des tats de la marche alatoire aprs n tapes est la matrice colonne dont les coefficients sont les probabilits d'arrive en chaque sommet aprs n tapes. Exemple : Dans l'exemple des passeurs au football, la matrice colonne des tats aprs la 3e tape donnerait les probabilits que le ballon se trouve chez l'attaquant A, chez l'attaquant B et chez l'attaquant C aprs 3 passes. L'arbre de probabilit ci-contre permet de rsumer les probabilits de transition de l'tape n l'tape n+1. A l'aide de la formule des probabilits totales, on a : EMBED Equation.DSMT4 On note EMBED Equation.DSMT4 la matrice colonne des tats de la marche alatoire aprs n tapes. On a alors : EMBED Equation.DSMT4 . Proprit : On considre une marche alatoire de matrice de transition M et dont la matrice colonne des tats l'tape n est EMBED Equation.DSMT4 . Pour tout entier naturel n, on a : EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 . Exemple : Vido HYPERLINK "https://youtu.be/eePx5Skr1o0" https://youtu.be/eePx5Skr1o0 Dans l'exemple prcdent, on suppose l'attaquant A possde le ballon l'tape 0. La matrice colonne des tats aprs la 3e tape est gale : EMBED Equation.DSMT4 . On a EMBED Equation.DSMT4 car le ballon part de A. Avec la calculatrice, on obtient : EMBED Equation.DSMT4 Donc EMBED Equation.DSMT4 . Ainsi par exemple, la probabilit que l'attaquant C possde le ballon aprs la 3e passe est gale EMBED Equation.DSMT4 . IV. Etude asymptotique d'une marche alatoire 1) Marche alatoire convergente Dfinition : On dit qu'une marche alatoire de matrice de transition M est convergente si la suite des matrices colonnes EMBED Equation.DSMT4 des tats de la marche alatoire converge. Dfinition : Si la suite EMBED Equation.DSMT4 des tats dune marche alatoire convergente vrifient EMBED Equation.DSMT4 alors la limite P de cette suite dfinit un tat stable solution de l'quation EMBED Equation.DSMT4 . Mthode : Etudier le comportement asymptotique d'une marche alatoire l'aide de la calculatrice ou d'un logiciel Vido HYPERLINK "https://youtu.be/VoPxnfTMiPQ" https://youtu.be/VoPxnfTMiPQ On considre la marche alatoire sur le graphe ci-dessous o l'on part de A : A l'aide de la calculatrice, dterminer l'tat stable de cette marche alatoire. On admet que la marche alatoire est convergente. La matrice de transition est EMBED Equation.DSMT4 . Pour tout entier naturel n, on a : EMBED Equation.DSMT4 o EMBED Equation.DSMT4 est la suite des matrices colonnes des tats de la marche alatoire. On a donc : EMBED Equation.DSMT4 avec EMBED Equation.DSMT4 car on part de A. A l'aide de la calculatrice, calculons par exemple EMBED Equation.DSMT4 : On peut effectuer les calculs pour des puissances de M de plus en plus grande. On constate que l'tat stable semble tre la matrice colonne EMBED Equation.DSMT4 . L'tat stable P vrifie l'quation EMBED Equation.DSMT4 , en effet : Remarque : Cette mthode ne prouve pas que la marche alatoire est convergente. En supposant qu'elle l'est, elle permet seulement de dterminer l'tat stable. 2) Cas d'un graphe deux sommets Proprit : On considre une marche alatoire de matrice de transition M sur un graphe deux sommets o EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 : Alors on a EMBED Equation.DSMT4 et la suite des matrices colonnes EMBED Equation.DSMT4 des tats de la marche alatoire converge vers un tat stable P tel que EMBED Equation.DSMT4 . P ne dpend pas de l'tat initial P0. Dmonstration : Pour tout entier naturel n, on note EMBED Equation.DSMT4 avec EMBED Equation.DSMT4 . Comme EMBED Equation.DSMT4 , on a : EMBED Equation.DSMT4 . Pour tout entier naturel n, on pose EMBED Equation.DSMT4 et on a : EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 est donc une suite gomtrique de raison EMBED Equation.DSMT4 . Comme EMBED Equation.DSMT4 , on a EMBED Equation.DSMT4 et donc EMBED Equation.DSMT4 converge vers 0. D'o EMBED Equation.DSMT4 converge vers EMBED Equation.DSMT4 . Comme EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 converge vers EMBED Equation.DSMT4 . Les limites de EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 ne dpendent donc pas de l'tat initial. Mthode : Etudier le comportement asymptotique d'une marche alatoire sur un graphe deux sommets Vido HYPERLINK "https://youtu.be/eOvtoVT7hvs" https://youtu.be/eOvtoVT7hvs On considre la marche alatoire sur le graphe ci-dessous : Etudier la convergence de la marche alatoire. La matrice de transition est EMBED Equation.DSMT4 . Pour tout entier naturel n, on a : EMBED Equation.DSMT4 o EMBED Equation.DSMT4 est la suite des matrices colonnes des tats de la marche alatoire. L'tat stable EMBED Equation.DSMT4 vrifie l'quation EMBED Equation.DSMT4 , soit EMBED Equation.DSMT4 . Ainsi, on a le systme EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 Comme EMBED Equation.DSMT4 , on a EMBED Equation.DSMT4 et donc EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 . L'tat stable du graphe est donc EMBED Equation.DSMT4 . Cela signifie que quelque soit l'tat initial (dpart de A ou de B), les probabilits d'tre en A et en B tendent respectivement vers EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 . PAGE \* MERGEFORMAT 1 Yvan Monka Acadmie de Strasbourg HYPERLINK "http://www.maths-et-tiques.fr" www.maths-et-tiques.fr Hors du cadre de la classe, aucune reproduction, mme partielle, autres que celles prvues l'article L 122-5 du code de la proprit intellectuelle, ne peut tre faite de ce site sans l'autorisation expresse de l'auteur. 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