L'infini

« 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, …et après ?
15, 16, 17, 18, 19, …et après ?
20, 21, 22, 23, …et après ? »

C’est bien la question récurrente que nous pose un enfant qui apprend à compter : « …et après ? »
Et après ... les nombres 24, 25, 26 ... 100, 200, … se suivent pour être dépassés par des plus grands (millions, milliards, …) qui voient à leur tour s’échapper très loin devant eux de très grands nombres (centillions, googol, googolplex, …), suite qui continue sa course effrénée vers on ne sait où…
Et pourtant on lui attribue un nom : l’infini...

Une notion mathématique des plus abstraites qui ne paraît pas si simple à définir et dont on peut même remettre en doute l'existence.
L’infini ne nous est pas accessible et ne fait pas partie du monde réel. Aristote (-384 ; -322) parlait d’un infini potentiel au sens d’une éventualité utopique impossible à réaliser.

Alors qu’est ce qu'un infini ? Car il en existe plusieurs, nous le verrons ensuite.
Le plus simple serait de le définir comme tout ce qui n’est pas fini.
Par exemple, les diviseurs de 12 sont en nombre fini (1, 2, 3, 4, 6 et 12), par contre ses multiples sont en nombre infini (12, 24, 36, …).

Dans ce cas, il n’est pas étonnant d’entendre souvent que l’univers est infini. Comment pourrait-on concevoir qu’il soit fini. Et pourtant les physiciens s’opposent majoritairement à cette idée. Citons l’astrophysicien Christian Magnan : « L'infini est une notion mathématique qui n'a pas d'équivalent dans le monde physique. Soutenir que notre Univers serait « infini » est absurde car cela ne signifie rien en réalité. Toute théorie physique implique des nombres, en tant que tels forcément répartis sur un intervalle fini. Par conséquent un univers infini, situé hors du domaine de la mesure, s'exclut ipso facto du cadre de la physique. »

Alors si même l’univers n’est pas infini, où peut-on trouver l’infini ?
Nulle part, semblerait-il ! Et comme l’écrit Christian Magnan, on ne peut lui attribuer qu’un statut mathématique.
Voilà quelques ressemblances avec le zéro longtemps nié et refusé car lui non plus ne trouvait pas de représentation dans le monde réel. D’autant plus que ces deux faux jumeaux sont mathématiquement liés, puisqu’en divisant le fini par zéro, on obtient l’infini.
Prenons un exemple : divisons 32 (le fini) par 0. Obtenons-nous, l’infini ? Pas vraiment ! La calculatrice affiche «MA error» qui signifie «Mathematical error».
La division par zéro est interdite en mathématiques.
Essayons alors d’approcher le résultat, en choisissant des valeurs de plus en plus proches de zéro :
32 : 0,1 = 320
32 : 0,01 = 3200
32 : 0,001 = 32000 …
32 : 0,000 000 001 = 32 000 000 000
L’expérience semble concluante, plus le diviseur se rapproche de zéro et plus le quotient grandit pour tendre vers l'infini!

Entre 1200 et 900 avant notre ère, dans les premiers textes sacrés hindous tel le "Yapur-Veda", apparaîssent déjà le nombre "parardha" valant mille milliards ainsi que le concept d'infini appelé purna et signifiant "plénitude".

Mais les premières approches mathématiques sur le sujet datent du VIème siècle avant J.C. et ne traitent pas encore de l’infiniment grand mais de l’infiniment petit. La découverte de l’irrationalité de √2, que les pythagoriciens ont tenté de cacher, en est le point de départ.
Par la diagonale d’un carré de côté 1, les savants grecs découvrent une longueur inexprimable, √2, dont nous savons aujourd’hui que son écriture comporte un nombre infini de décimales apparaissant de façon totalement aléatoire.

Plus troublant encore, le nombre Pi qui fascine les mathématiciens depuis près de 4000 ans. En ce moment même de gigantesques ordinateurs calculent les décimales les plus éloignées et tentent de battre les records qui se succèdent sans connaître de limite.

 

Zénon d'Elée (-490 ; -425)

Au Vème siècle avant J.C., le grec Zénon d’Elée (-490 ; -425) propose les premiers paradoxes de l’infini. Exposons-en un : A priori la somme d’un nombre infini de longueurs est une longueur infinie. Zénon nous exprime qu’il peut en être autrement : Achille, célèbre pour sa rapidité, court à vitesse constante sur une longueur de 1km (précisons que le km n’existait pas encore à l’époque, voir l'histoire du mètre). Achille doit d’abord parcourir la moitié de la longueur (1/2) puis la moitié de la longueur restante (1/4) et ainsi de suite en poursuivant le processus de division à l’infini. La longueur totale sera ainsi égale à 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + ... En effectuant les premiers termes de cette série de nombres, on s’aperçoit que plus on ajoute de termes, plus on se rapproche de 1. Voilà une somme infinie de longueurs dont le résultat est fini et égal à 1 ! Mais au IVème siècle avant J.C., Aristote (-384 ; -322) expose les problèmes de Zénon et réfute tous les paradoxes en opposant l’infini en acte qui peut être atteint (celui de Zénon) à l’infini potentiel qui n’est pas réalisable.

Achille

Au IIIème siècle avant J.C., Archimède de Syracuse (-287 ; -212) propose la méthode dite des anciens qui sera la base du calcul infinitésimal (calcul avec l’infiniment petit).

C’est à partir du XIIIème siècle que les savants d’Occident prennent le relais et exposent puis développent les théories du passé. Citons l’anglais Robert Grosseteste (1158 ; 1253), le français Pierre de Fermat (1601 ; 1655) ou le belge Grégoire de Saint-Vincent (1584 ; 1667) qui rebaptise la méthode des anciens en « la méthode d’exhaustion ».

Le français Blaise Pascal (1623 ; 1662) participe aussi à l’essor du calcul infinitésimal et donne une approche plus théologique de l’infini. Il écrit au sujet de l’infiniment petit et l’infiniment grand :
« …ces extrémités se touchent et se réunissent à force de s'être éloignées, et se retrouvent en Dieu et en Dieu seulement. »

En 1665, l’anglais John Wallis (1616 ; 1703) introduit pour la première fois dans son ouvrage "Arithmetica Infinitorum" le symbole pour désigner l'infini. Il est hérité des romains qui l’utilisaient pour désigner "1000".

Au XVIIème siècle Isaac Newton (1642 ; 1727) et Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646 ; 1716) généralisent et propagent le calcul infinitésimal qui devient une branche indépendante des mathématiques possédant ses propres règles.

 

Georg Cantor (1845 ; 1918)

Mais c’est au XIXème siècle avec le russe Georg Cantor que l’infini prend réellement son envol !!! Son apport est considérable. Il baptise o, qui se lit "aleph 0", l’infini des nombres entiers ou l'infini dénombrable (que l'on peut compter ou numéroter à l'aide des entiers naturels). Par exemple, les ensembles ℕ, ℤ et ℚ possèdent un nombre infini d'éléments d'ordre o. Ce qui n'est pas le cas de IR, l'ensemble des nombres réels (voir Classification des nombres).
1 est l'infini des points se trouvant sur une portion de courbe (le continu), puis vient 2, 3, ... Il propose d’autres infinis qu’il distingue et essaie de comparer.

Mais un infini peut-il être plus grand qu’un autre ? Existe-t-il des infinis équivalents ?
Pour comprendre, considérons l’ensemble des entiers positifs et celui de leur carré.
A chaque entier, il est possible d’associer son carré (1 à 1, 2 à 4, 3 à 9, …). Donc si à chaque élément de l’un, il est possible d’associer un élément de l’autre et réciproquement, ces deux ensembles ont la même taille et pourtant l’ensemble des entiers contient celui de leur carré !
Ces deux infinis sont équivalents et le paradoxe qu’ils présentent explique pourquoi de nombreux savants réfutaient l’infini en acte. Cette notion rejoint la pensée du savant de Bagdad Abu al Hassan Thabit Ibn Qurra (836 ; 901) qui soutenait qu'un infini ne peut être plus grand qu'un autre.

Illustrons encore cette idée par le paradoxe de l’hôtel infini, proposé par David Hilbert (1862 ; 1943) dans les années 20 :
Imaginons un hôtel qui comprend une infinité de chambres toutes occupées.
Le paradoxe est le suivant : s’il arrive subitement une infinité de nouveaux clients, l’hôtel pourra tous les loger !
L’astuce consiste à déplacer les anciens occupants : celui de la chambre 1 passe dans la chambre 2, celui de la chambre 2 passe dans la chambre 4, celui de la chambre 3 passe dans la chambre 6, celui de la chambre 4 passe dans la chambre 8 et ainsi de suite de façon à ce que les anciens occupants n’occupent que des chambres à numéro pair. Ainsi les nouveaux arrivants n’auront plus qu’à se loger dans les chambres à numéro impair qui sont en nombre infini !

Allons encore plus loin… Car s’il existe des infinis équivalents, leur nombre est en quantité infinie. Il s’agit là d’un infini d’ordre deux (les infinis d’ensembles infinis).
Et nous ne nous arrêtons pas en si bon chemin. Nous pouvons concevoir l’infini d’ordre 3, il suffit de prendre une infinité d’infinis d’ordre 2. Alors pourquoi ne pas continuer ?
Et nous continuons avec les infinis d’ordre 4, puis 5, puis …d’ordre infini bien sûr ! Suite d’ensembles qui sont en nombre infini et l’on peut poursuivre ainsi jusqu’à l’infini…

 

Kurt Gödel (1906 ; 1978) avec Albert Einstein (1879 ; 1955) à Princeton en 1950

Plus tard l'allemand Kurt Gödel (1906 ; 1978) tentera de répondre à la grande interrogation de Cantor appelée le Paradoxe du continu. Est-il possible de concevoir un infini entre deux infinis d’ordre successif ? Existe-t-il par exemple un infini compris entre celui de IN et celui de IR ? Question délirante à laquelle Cantor ne trouva jamais de réponse. S'en suivit une grave dépression nerveuse qui le fit abandonner les mathématiques pour se consacrer à la théologie et la philosophie.
Finalement Gödel prouvera qu’on ne peut pas répondre à cette question puisque la proposition est aussi bien vraie que fausse. On dit qu’elle est indécidable !

 

Pour clore ce dossier, un petit exercice accessible à tous qui prouve que 0,99999… = 1:

Si on pose : x = 0, 99999…, alors : 10 x = 9, 9999… 10 x – x = 9,9999… – x 9 x = 9,9999… – 0,9999… 9 x = 9 x = 1 d’où : 0,99999… = 1

Il n'y a pas de piège et même si la démonstration ci-dessus n'est pas d'une rigueur exemplaire, le résultat énoncé est tout à fait exact.

 

Quelques liens sur le sujet :

• Les fractales objets géométriques dont les détails se reproduisent à l'infini
• Nombre - Curiosités, théorie et usages complet et expliqué simplement
• math93 petite chronologie présentant les différentes découvertes en rapport avec l'infini
• lacosmo "L'infini : ça n'existe pas !" par C.Magnan
• Bibliographie

 

« Deux choses sont infinies : l’univers et la bêtise humaine ; mais en ce qui concerne l’univers, je n’en ai pas encore acquis la certitude absolue. » Albert EINSTEIN