Histoire des nombres irrationnels

En latin, « ratio » signifie compter. Etymologiquement, un nombre irrationnel est un nombre que l’on ne peut pas compter. On dirait plutôt aujourd’hui, que l’on ne peut pas écrire car le nombre de décimales qui le constitue est infini mais de surcroît ces décimales se suivent sans suite logique.
On l’oppose par définition au nombre rationnel quotient de deux entiers dont l’écriture décimale peut être infinie mais dans ce cas nécessairement périodique.
Par exemple, 2/7 = 0,285714285714285714… est un nombre rationnel.

Les nombres irrationnels les plus célèbres sont π et e. Les premières décimales de π sont :
3,14159265358979323846264338327950288419716939937510582… Mais dans la pratique, on utilise le plus souvent 3,14. Les décimales de π ont été la proie des savants depuis près de 4000 ans. Une des plus anciennes approximations de π se trouve sur le célèbre papyrus Rhind.

Le nombre e ne fait son apparition qu’au XVIIe siècle avec le développement des logarithmes. Ses premières décimales sont :
2,71828182845904523536028747135266249775724709369995957…

Pour en savoir plus :
Le nombre π
Le nombre e

 

Pour trouver les premières traces de nombres irrationnels, il faut remonter 4000 ans en arrière jusqu’aux civilisations babyloniennes. L’université de Yale possède une petite tablette de 7cm de diamètre datant de la première dynastie babylonienne (environ 1700 avant J.C) qui représente un carré et ses diagonales. Les trois séries de nombres écrits en langage cunéiforme donne une excellente approximation de avec une erreur relative de 4x10^-7.

Tablette babylonienne (environ 1700 avant J.C)

 

Les Égyptiens de l’Antiquité savent également extraire les racines carrées à l’aide de nombres rationnels mais leurs approximations ne sont que très vagues.

 

Chez les grecs, la notion de nature de nombre commence à apparaître. Le premier irrationnel à faire son entrée est en tant que longueur de la diagonale d’un carré de côté 1. En réalité, les grecs conçoivent un carré construit sur la diagonale du premier. L’aire du second est le double de celle du premier. Ils prouvent que le coté du second est dans un rapport au côté du premier que l’on ne peut pas exprimer.

Selon l’historien Diogene Laërce (IIIe siècle), ce sont les pythagoriciens qui, cinq siècles avant J.C., ont découvert l’impossibilité de trouver une solution fractionnaire. Une valeur approchée de la solution ne convenant pas dans la formule de Pythagore, l’usage de la géométrie en arithmétique voit ses limites. Cette découverte doit rester secrète pour ne pas rompre le fondement même de la Fraternité : "Tout est nombre". "Nombre" au sens d'un entier ou d'une fraction. Jusqu'à ce qu'un des membres de la Fraternité, Hippase de Métaponte, trahisse le secret. L’historien et philosophe, Proclus (Ve siècle), déclara à ce sujet : « On dit que les gens qui ont divulgué les nombres irrationnels ont péri dans un naufrage jusqu’au dernier, car l’inexprimable, l’informe, doit être absolument tenu secret ; ceux qui l’ont divulgué et ont touché à cette image de la vie ont instantanément péri et doivent rester éternellement ballottés par les vagues. »

Pythagore de Samos (-569 ; -475) selon Raphaël

Euclide d'Alexandrie (-320? ; -260?) présente une des premières démonstrations de l’irrationalité de . Dans le Livre X des « Eléments », il donne une classification des irrationnels connus qui sont tous des racines carrés d’entiers.

 

Plus tard, dans « Les Sulbasutras » (Règles des cordes), l’indien Baudhayana (vers 800) étudie la possibilité de construire un carré dont l’aire est le double d’un autre. Il sera conduit à évaluer une valeur approchée de .

 

La démonstration de l’irrationalité de peut s’effectuer aujourd’hui par l’absurde :
Supposons que soit rationnel, alors il existe deux entiers p et q tel que p/q soit irréductible et = p/q.
Donc 2 = p²/q² soit p² = 2q².

- p² est ainsi un nombre pair donc p l’est également.
Il existe donc un entier r tel que 2r = p.
La fraction p/q = 2r/q étant irréductible, l’entier q est impair.

- or p² = 2q² soit 4r² = 2q² soit encore 2r² = q²
Donc q² est pair et ainsi q est pair.

Nous aboutissons à une contradiction donc l’hypothèse de départ est fausse.
Le nombre n’est pas rationnel donc il est irrationnel.

 

Vers la fin du premier millénaire de notre ère, de nouveaux nombres irrationnels sont connus avec les progrès dans les calculs approchés obtenus par le développement des méthodes de résolution des équations (Voir l'histoire de l'algèbre et des équations).

Avec les savants arabes, les racines carrées obtiennent le statut de nombre. Pour Abu Kamil (850 ; 930) puis plus tard Yahya Al Samaw’al (1130 ; 1180), les nombres irrationnels sont un objet mathématique à part entière utilisé pour l’algèbre et l’arithmétique.
Vers le début Xe siècle, un nombre rationnel est appelé « al-a`dad al-mantiqa » (nombre logique), un nombre irrationnel est appelé « al-a`dad asamma » (nombre sourd).

 

Au XVIe siècle, en Europe, le mathématicien belge Simon Stevin (1548 ; 1620) veut faire intégrer les nombres irrationnels parmi les nombres et s’oppose à l’utilisation d’inexprimable ou d’irrationnel.
Dans « Triparty en la science des nombres », Nicolas Chuquet (1445 ; 1488) note les radicaux avec un "R". Puis le "R" devient "r" et avec Christoff Rudolff (1499 ; 1545), les racines carrées sont notées à l’aide du symbole , les racines cubiques avec et les racines quatrièmes avec .
Le symbole radical avec la barre supérieure sera utilisé en 1637 par René Descartes (1596 ; 1650) puis par William Oughtred (1574 ; 1660) dès 1647.

Connu depuis l’Antiquité en Chine, en Grèce et dans l’Inde du Ier siècle, les fractions continues contribueront au développement des nombres irrationnels et à la recherche de valeurs approchées.
Il est difficile de donner une définition de fraction continue. On les appelle aussi fractions à étages. Pour comprendre, donnons le développement de en fractions continues que propose Rafael Bombelli (1526 ; 1572) dans son « Algebra » :
(A noter que Bombelli ne l’écrivait pas de cette façon)

L'Algebra de Bombelli

Plus tard Pierre de Fermat (1601 ; 1655), Joseph Lagrange (1736 ; 1813) ou encore Adrien-Marie Legendre (1752 ; 1833) apporteront des théories modernes. D’autres tels Johann Lambert (1728 ; 1777) s’attachent au développement du nombre π en fractions continues dans le but d’obtenir des valeurs approchées de plus en plus précises.
En 1737, dans « De fractionibus continuis », Leonhard Euler (1707 ; 1783) démontre que toute solution irrationnelle positive d’une équation du second degré peut être représentée par une fraction continue.
Aux XVIIIe siècle, l’étude des fractions continues se généralise pour traiter de la nature des nombres (rationnels, irrationnels, algébriques, transcendants).
Un nombre algébrique est solution d’une équation polynomiale à coefficients entiers. Par exemple, le nombre irrationnel est algébrique car il est solution de l’équation x² – 2 = 0.
Un nombre transcendant ne se laisse dompter par aucune équation de ce type.
Les nombres π et e sont des irrationnels transcendants.
En 1844, Joseph Liouville (1809 ; 1882) explicite à l’aide des fractions continues plusieurs nombres transcendants. En 1873, Georg Cantor (1845 ; 1918) corrobore les travaux de Liouville et démontre l’existence des nombres transcendants. Puis en 1873, Charles Hermite (1822 ; 1901) démontre la transcendance de e et en 1882, Ferdinand von Lindemann (1852 ; 1939) démontre celle de π.

 

Richard Dedekind

Fin du XIXe siècle, Richard Dedekind (1831 ; 1916) réunit les rationnels et les irrationnels sous le nom de nombres réels (droite des réels) et définit les irrationnels sans l’aide des suites.

Quelques liens traitant du sujet :

• Nombres - Curiosités, théorie et usages Un peu de théorie sur les nombres irrationnels
• Nombres - Curiosités, théorie et usages Les nombres transcendants
• Cité des sciences Cycle de 3 conférences filmées sur des nombres extraordinaires (pi, nombre d'or et racine de 2).
• Bibliographie