Problèmes ouverts

 

Les exemples qui suivent sont classés selon le niveau minimum pour lequel ils peuvent être proposés. Il est possible de décliner les énoncés sous différentes formes et à différents niveaux suivant les objectifs voulus.
Logo NUM : Problèmes dont l'usage d'un logiciel (tableur, géométrie dynamique, grapheur, calcul formel...) peut être pertinent.


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A partir de la classe de Sixième

Le pianiste Facile
Un pianiste dit avoir joué du piano pendant 8000 heures en un an. Est-ce possible ?

L'escalier Facile
Y a-t-il proportionnalité entre le nombre de marches montées et les calories dépensées ?

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Les poignées de mains Facile
Six amis se rencontrent et se serrent une main.
Combien de poignées de mains se donnent-ils ?

Les châteaux de cartes Facile

Combien faut-il de cartes pour construire un château de 3 étages ? 5 étages ? Puis 12 étages ?

Le puzzle Facile

ABCD est un rectangle tel que AB = 2 x BC. E est le milieu de [AB] et AB = BF.
Découper les cinq pièces de ce puzzle de façon à reconstituer un carré, un losange, un parallélogramme, un trapèze et un triangle rectangle et isocèle.

Sur un cube Facile
ABCDEFGH est un cube d’arête 10 cm.
Combien existe-t-il de points sur les arêtes du cube à 12 cm de A ?

L'escargot Facile
Jules l’escargot est au fond d’un puits de 10 m de profondeur dont il voudrait bien sortir !
Durant la nuit, il monte de 3 m et dans la journée, il redescend de 2 m.
Au bout de combien de temps sortira-t-il du puits ?

Pliage Facile
Lola s’amuse à plier une feuille de papier. Sachant que la feuille mesure 0,1 mm d’épaisseur, quelle épaisseur devrait trouver Lola si elle pliait la feuille sur elle-même 20 fois de suite ?

Le gâteau Facile
Mon gâteau a la forme d’un triangle équilatéral. Saurais-tu parfaitement couper les deux tiers de ce gâteau en deux coups de couteau seulement ?

2 et 5 Facile
Combien de pièces de 2 € et de billets de 5 € au minimum faut-il combiner pour obtenir la somme de 23 € ? de 54 € ? de 81 € ?

La basse-cour Facile
Un fermier a des poules et des lapins. En regardant tous les animaux, il voit 5 têtes et 16 pattes. Combien le fermier a-t-il de lapins et de poules ?

Gros Dédé Facile
En utilisant les informations données par ces trois dessins, détermine combien pèsent le gros Dédé, le petit Francis et le chien Boudin.


Star Wars : Une saga très rentable Moyen
L'infographie contient des erreurs ! Lesquelles ? Corriger en réalisant de nouveaux schémas.

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Dans une mine de crayon Moyen
Evaluer l'échelle de réduction de la locomotive sculptée dans en mine de crayon.

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Carré plié Moyen

On prend un carré de côté 15 cm. On le plie. Quel est le périmètre de la figure jaune ainsi formée ?

Produit Moyen
Quel est le dernier chiffre du produit suivant :
1 x 2 x 3 x … x 2011 ?

Les pesées Moyen
On dispose de 7 petites boîtes identiques. L'une n'a pas le même poids que les autres. En utilisant une balance à plateaux, décrire les pesées à effectuer pour retrouver cette boîte en un nombre minimum de pesées.

Monnaie Moyen
Serait-il possible d’utiliser un système de monnaie où il n’existerait que des pièces de valeur 9 et 11 ?

Koh-Lanta Moyen
30 participants à Koh-Lanta mangent 30kg de riz en 30 jours. Quelle quantité de riz mangent 15 participants en 15 jours ?

Arithmétique Moyen
On considère les chiffres 1, 2, 3 et 4.
Combien y a-t-il de nombres entiers inférieurs à 10000 s’écrivant uniquement avec ces chiffres ?

Horloge Moyen
Pendule, ma pendule, il est six heures et demie du soir.
Quel est donc l'angle que forment tes aiguilles ?

Le plus grand produit Moyen
Quel est le plus grand produit de deux nombres que l'on peut faire en utilisant une fois et une seule les chiffres 1, 2, 3, ... 9 pour former ces nombres ?

Le compas Moyen
Quel doit être l’écartement des deux branches d’un compas pour que l’aire du triangle formée par celles-ci soit maximale ?

La chèvre Moyen

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Une gentille petite chèvre est tenue en laisse par une corde de 9 m accrochée par un piquet au bord de la grange comme indiqué sur le schéma. La grange n'est pas accessible.
Représenter la surface où peut brouter la petite chèvre.

Divisibilité Difficile
Quel est le nombre à quatre chiffres inférieur à 5000 qui est divisible par 2, par 3, par 4, … par 10 ?

Décomposition Difficile
Un nombre entier peut se décomposer en plusieurs sommes d'entiers.
Par exemple : 45 = 20 + 20 + 5 ; 45 =16 + 10 + 17 + 2 ou 45 = 15 + 30...
Parmi toutes les décompositions d’un nombre entier, trouver celle dont le produit des termes est le plus grand !

Le mot de passe Difficile
Pour protéger l’accès de sa messagerie Internet, Lucie a choisi un mot de passe constitué de 6 lettres suivi de 2 chiffres. Combien y a-t-il de mots de passe possibles ?

La rivière Difficile

Jojo part de A, prend de l'eau à la rivière pour la reverser dans son jardin en B. Tracer le plus court chemin.

Les carrés paveurs Difficile
On dispose des carrés suivants :
1 carré de côté 1,
2 carré de côté 2,
1 carré de côté 3,
4 carré de côté 4,
1 carré de côté 5,
4 carré de côté 6,
1 carré de côté 7,
1 carré de côté 10.
Est-il possible de paver un rectangle à l'aide de ces pièces ?



A partir de la classe de Cinquième

Produits égaux Facile
Démontrer que 8 x 9 x 10 x 11 x 12 x 13 x 14 = 63 x 64 x 65 x 66 sans effectuer les multiplications.

Avec des allumettes Facile
Combien existe-t-il de triangles différents construits en assemblant 13 allumettes exactement ?

La bûche Moyen
Il faut 1 min 25 s pour couper une bûche en deux. Combien de temps faut-il pour couper une bûche en 13 morceaux ?

La ligne Moyen

Placer sur la ligne dessinée, le centre d’un cercle passant par les deux points A et B.

La cible Moyen

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La journée commence mal… Monsieur Précis, professeur d’EPS et animateur du club de tir à l’arc du collège, n’est pas content ! Les cibles qu’il avait commandées pour son club viennent d’arriver, mais elles ont été mal imprimées. Il manque les zones numérotées 8, 9 et 10. Et il n’a pas le temps de s’en faire livrer d’autres pour le tournoi de l’après-midi ! Aide ton professeur à retrouver le moral et le sourire en construisant les trois cercles manquants.

Sans cercle Moyen
Placer trois points A, B et C non alignés.
Placer un point D qui appartient au cercle passant par A, B et C sans tracer ce cercle.

Les boîtes de conserve Moyen   -NUM-

A l'aide d'un tableur, déterminer le nombre de boîtes de conserve nécessaires pour faire un empilement de 30 étages. Combien d'étages peut-on construire au maximum avec 700 boîtes ?

Points alignés Difficile

Les points C, E et F sont-ils alignés (tous les angles sont droits) ?

Sondage Difficile
Un sondage montre que 85 % des français aiment les frites, 75 % des français aiment les hamburgers et 65 % des français aiment le soda. Quel pourcentage minimal des Français aiment les trois à la fois ?

Périmètre et aire Difficile   -NUM-

Comment construire un triangle ABE de base [AB] donnée, de même aire que le triangle ABC ci-dessus mais de périmètre minimum.

Le produit impossible Difficile
Calculer :


L'hectogone Difficile   -NUM-
Un quadrilatère possède 2 diagonales. Un pentagone possède 5 diagonales. Combien de diagonales possèdent un hectogone (polygone à 100 côtés) ?



A partir de la classe de Quatrième

Moyennes de chiffres Facile
Combien existe-t-il de nombres à trois chiffres dans lesquels le chiffre des unités est la moyenne du chiffre des dizaines et de celui des centaines ?

Avec le tableur Facile   -NUM-

Trouver a, b et c.

Les feuilles Facile

Combien y aura-t-il de feuilles au cinquième jour ? au dixième jour ?

La corde Moyen
Une corde non élastique de 100,1 m est attachée au sol entre deux piquets distants de 100 m. Bill tire la corde en son milieu et la lève aussi haut qu'il le peut.
Peut-il passer en dessous ?

L'araignée Moyen

L'araignée en A veut rejoindre la mouche en M en se déplaçant sur le parallélépipède. Quel est le chemin le plus court ?

La nappe Moyen   -NUM-
Peut-on recouvrir une table carrée de 90 cm de côté avec 2 nappes de diamètre 1 m ?

Puissances Moyen
Quel est le chiffre des unités de 2 puissance 50 ?
Solutions d'élèves

Puissances de 13 Moyen
Si je calcule 13¹, le chiffre des unités est 3.
Si je calcule 13², le chiffre des unités est 9.
Quel est le chiffre des unités de 13²⁰¹² ?

Longueur dans un cercle Difficile


Vitesses moyennes Difficile

Un cycliste monte une pente à 10km/h de moyenne puis redescend à 30 km/h de moyenne. La descente fait la même distance que la montée. Calculer la vitesse moyenne du cycliste sur tout le parcours.

La couronne Difficile

Soit deux cercles de même centre. La corde du cercle extérieur représentée en rouge est tangente au cercle intérieur et mesure 5 cm. Calculer l’aire de la couronne verte.

Distance minimale Difficile   -NUM-
ABC est un triangle rectangle en A. M est un point de l’hypoténuse [BC].
On trace par M les perpendiculaires aux côtés [AB] et [AC] qui coupent ces côtés respectivement aux points P et Q.
Où placer le point M pour que la distance PQ soit minimale ?
Figure dynamique

La ficelle Difficile
Supposons que l’on fasse le tour de la Terre avec une ficelle. Si on rallonge la ficelle de 1 m et qu’on la dispose à égale distance du sol, qui pourra passer sous la ficelle sans la toucher :
un microbe, une fourmi, une souris, un chat, un chien ou un éléphant ?



A partir de la classe de Troisième

QCM Facile

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La planète des deux empires Moyen

Une planète habitée de forme cubique tourne sur elle-même autour de l'axe de ses deux pôles (Australopolis et Boréalopolis) qui sont des sommets opposés du cube. Sur la planète coexistent deux empires dont les capitales sont ces deux pôles.
Lors d'un grand colloque, il est décidé de fixer définitivement la frontière des deux empires : tout point de la planète appartiendra à un empire s'il est plus proche de sa capitale que de la capitale de l'autre empire.
Représenter la frontière entre les deux empires.

Inégalités salariales Moyen
Si Julie gagne 20% de moins que Pauline, alors Pauline gagne ...% de plus que Julie.

Le sablier Difficile

Tout est dit !

Le lièvre et la tortue Difficile
Pour savoir qui avance, on lance un dé.
Si le résultat est 6, le lièvre avance de 6 cases et a gagné.
Si le résultat est différent de 6, la tortue avance d'une case. La tortue gagne si elle atteint la case n°6 (elle a donc 6 cases à parcourir).
Qui a le plus de chance de gagner ?

L'équerre Difficile   -NUM-

Une équerre ABC est placée de telle sorte que le point A est situé sur l’axe des ordonnées et le point B sur celui des abscisses. On déplace l’équerre en faisant glisser A et B sur les axes. Comment se déplace C ?

Lieu Difficile   -NUM-

Soit une droite (d) et deux points A et B en dehors de cette droite. À tout point M de (d), on associe le deuxième point M’ intersection des cercles de centres respectifs A et B et passant par M.
Où se déplace M’ quand M décrit (d) ?
Figure dynamique



A partir de la classe de Seconde

Substitution Facile
Paul et Marie ne sont pas d’accord. Paul dit « Dans l’expression : n² - 14n + 49, si on remplace n par n’importe quel nombre entier positif, on obtient toujours un nombre différent de zéro ». Marie affirme le contraire. Qui a raison ?

La ville carrée Moyen   -NUM-
« Une ville carrée de dimension inconnue comprend une porte au milieu de chaque côté. À l’extérieur de la ville, vingt pas après la sortie nord, se trouve un arbre.
Si tu quittes la ville par la porte sud, marche quatorze pas vers le sud puis mille sept cent soixante-quinze pas vers l’ouest et tu commenceras tout juste à apercevoir l’arbre.
On cherche les dimensions de la ville. »
D’après le « Jiuzhang suanshu » ou « Les neuf chapitres sur l’art du calcul », ouvrage chinois, ∼ 200 av. J.-C.

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Le jardin Difficile
Nicolas le jardinier possède un fil barbelé de 75 mètres de long. Il veut clôturer son jardin avec ce fil. Ce jardin doit être rectangulaire. Il veut aussi qu’il soit le plus grand possible c’est-à-dire qu’il puisse planter le plus de salades possible, par exemple. Comment doit-il faire ?

La raclette Difficile   -NUM-

Un four à raclette circulaire est constitué de 4 coupelles. On y pose un bout de fromage rectangulaire. Quelles sont les dimensions du fromage donnant sa surface maximale ?
Étape 1 : un des côtés du fromage est sur [AB].
Étape 2 : un des côtés du fromage est parallèle à la droite (AD) bissectrice de l’angle droit.
Variante : Position quelconque dans un quart de disque ­ comme sur la figure ci-­dessus.
Scénario



A partir de la classe de Première

Le fantôme Facile   -NUM-

Le dessin ci-dessus est réalisé à partir d’arc de paraboles.
Proposer un repère pour cette figure et déterminer des fonctions polynômes du second degré, définies chacune sur un intervalle, dont les courbes représentatives donnent le dessin proposé.
Scénario

Millionnaire ? Facile   -NUM-
Je gagne 1 € le premier jour, 2 € le deuxième, 3 € le troisième, etc. Au bout de combien de jours aurai-je 50 005 000 € ?

Les jetons Moyen   -NUM-


Etape 0 : Posez les jetons 0 et 1 aux deux extrémités d'un segment.
Etape 1 : Posez au milieu de ce segment un nouveau jeton où figure la somme des jetons présents à ses extrémités.
Etape 2 : Posez au milieu de chacun des segments délimités par des jetons un nouveau jeton où figure la somme des jetons présents à ses extrémités.
Quelle est la somme des jetons posés après l'étape 20 ?

Tangente "deux en un" Moyen   -NUM-
Déterminer l'équation d'une droite qui est à la fois tangente à la parabole y = x² et à l'hyperbole y=1/x.

Napoléon Moyen   -NUM-
Trouver une fonction polynôme définie sur un intervalle dont la courbe a l’allure suivante :
Scénario


Le château de cartes Moyen   -NUM-

Combien faut-il de cartes pour construire 5 étages, 12 étages, 100 étages et, de manière générale, n étages ?



A partir de la classe de Terminale

Distance minimale Facile   -NUM-
Soit C la courbe représentative de la fonction ln dans un repère orthonormal d’origine O. Pour quel(s) point(s) M de la courbe C, la distance OM est-elle minimale ?

Limite double Moyen   
Vrai/faux, pourquoi ?


x^x Difficile   
Etudier et représenter la fonction x ⟼ x^x

Drôle de somme Difficile
Combien vaut arctan(1) + arctan(2) + arctan(3) ?