4. Problèmes ouverts et numérique

Les exemples qui suivent sont classés selon le niveau minimum pour lequel ils peuvent être proposés. Il est possible de décliner les énoncés sous différentes formes suivant les objectifs voulus.

Sixième Sommes - Moyen Gauss naît le 30 avril 1777 à Brunswick dans une famille d’artisans. Enfant prodige, il apprend à lire et à compter dès l’âge de trois ans et l’on raconte qu’à cet age, il corrige une erreur dans les comptes de son père. Une seconde anecdote relate également comment Gauss sait faire preuve d’un talent remarquable pour le calcul mental. Voulant occuper ses élèves, le professeur demande d’effectuer des additions, plus exactement d’effectuer la somme des nombres de 1 à 100. Après très peu de temps, le jeune Gauss, alors âgé de 10 ans, impressionne son professeur en donnant la réponse correcte. Saurais-tu faire aussi vite que Gauss ? SCÉNARIO La rivière - Difficile Jojo part de A, prend de l'eau à la rivière pour la reverser dans son jardin en B. Tracer le plus court chemin. Cinquième Les boîtes de conserve - Moyen A l'aide d'un tableur, déterminer le nombre de boîtes de conserve nécessaires pour faire un empilement de 30 étages. Combien d'étages peut-on construire au maximum avec 700 boîtes ? Quart de cercle - Moyen Construire deux segments [OM] et [ON] de même longueur et perpendiculaires en O. Tracer le quart de cercle de centre O et d’extrémités M et N. Placer un point P quelconque sur le quart de cercle et construire le rectangle OAPB tel que A se trouve sur le segment [OM] et B se trouve sur le segment [ON]. Que peut-on conjecturer pour la longueur AB ? Périmètre et aire - Difficile Comment construire un triangle ABE de base [AB] donnée, de même aire que le triangle ABC ci-dessus mais de périmètre minimum. Quatrième Avec le tableur - Facile Trouver a, b et c. Les nappes - Moyen Peut-on recouvrir une table carrée de 90 cm de côté avec 2 nappes de diamètre 1 m ? Le père Lapaille - Moyen Le père Lapaille possède un terrain qui a la forme d’un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent respectivement 50 m et 80 m. Il souhaite partager ce terrain pour ses deux fils en deux parcelles de même aire de façon que la ligne de partage soit une droite parallèle à l’hypoténuse de son terrain triangulaire. Trouver la position de la ligne de partage répondant au problème du père Lapaille. SCÉNARIO Distance minimale - Difficile ABC est un triangle rectangle en A. M est un point de l’hypoténuse [BC]. On trace par M les perpendiculaires aux côtés [AB] et [AC] qui coupent ces côtés respectivement aux points P et Q. Où placer le point M pour que la distance PQ soit minimale ? FIGURE DYNAMIQUE Troisième Suivant et précédent - Moyen On choisit un nombre entier n supérieur ou égal à 1. On appelle S le nombre égal au carré de son "suivant". On appelle P le nombre égal au carré de son "précédent". On appelle D la différence des nombres S et P. Comparer le nombre D avec le nombre n de départ. SCÉNARIO Lieu - Moyen Soit une droite (d) et deux points A et B en dehors de cette droite. À tout point M de (d), on associe le deuxième point M’ intersection des cercles de centres respectifs A et B et passant par M. Conjecturer la position de M’ lorsque M se déplace sur (d) ? La démonstration n'est pas attendue. FIGURE DYNAMIQUE La mangeoire à oiseaux - Difficile Deux poteaux électriques de 4 m et 8 m respectivement sont plantés perpendiculairement au sol. Du sommet de chacun au pied de l’autre, on tend un câble pour accrocher à l’intersection des câbles une mangeoire à oiseaux. On fait varier la distance entre les deux poteaux et on s’intéresse à la hauteur h du point de fixation E de la mangeoire. Que peut-on conjecturer sur la hauteur h, lorsque l’on fait varier la distance entre les points B et D ?

Seconde La raclette - Difficile Un four à raclette circulaire est constitué de 4 coupelles. On y pose un bout de fromage rectangulaire. Quelles sont les dimensions du fromage donnant sa surface maximale ? Étape 1 : un des côtés du fromage est sur [AB]. Étape 2 : un des côtés du fromage est parallèle à la droite (AD) bissectrice de l’angle droit. Variante : Position quelconque dans un quart de disque ­ comme sur la figure ci-­dessus. SCÉNARIO Triangle et rectangle - Difficile On souhaite dessiner un rectangle dans un triangle équilatéral de côté 10. Trouver comment tracer ce rectangle pour que son aire soit la plus grande possible. On pourra se limiter au cas où un des côtés du rectangle est confondu avec un des côtés du triangle. L'équation - Difficile Trouver les nombres a > 0 tels que l’équation ax + y = 5 possède le plus grand nombre de couples solutions (x ; y) avec x et y entiers compris entre 0 et 10. Première Le fantôme - Facile Le dessin ci-dessus est réalisé à partir d’arc de paraboles. Proposer un repère pour cette figure et déterminer des fonctions polynômes du second degré, définies chacune sur un intervalle, dont les courbes représentatives donnent le dessin proposé. SCÉNARIO Cercle tangent - Moyen La droite (d) est perpendiculaire à la droite (AB). Tracer, à la règle et au compas, un cercle passant par A et B et tangent à la droite (d). Millionnaire ? - Facile Je gagne 1 € le premier jour, 2 € le deuxième, 3 € le troisième, etc. Au bout de combien de jours aurai-je 50 005 000 € ? Les jetons - Moyen Etape 0 : Posez les jetons 0 et 1 aux deux extrémités d'un segment. Etape 1 : Posez au milieu de ce segment un nouveau jeton où figure la somme des jetons présents à ses extrémités. Etape 2 : Posez au milieu de chacun des segments délimités par des jetons un nouveau jeton où figure la somme des jetons présents à ses extrémités. Quelle est la somme des jetons posés après l'étape 20 ? Tangente "deux en un" - Moyen Déterminer l'équation d'une droite qui est à la fois tangente à la parabole y = x2 et à l'hyperbole y=1/x. Le chapeau de Napoléon - Moyen Trouver une fonction polynôme définie sur un intervalle dont la courbe a l’allure suivante : SCÉNARIO Terminale Distance minimale - Facile Soit C la courbe représentative de la fonction ln dans un repère orthonormal d’origine O. Pour quel(s) point(s) M de la courbe C, la distance OM est-elle minimale ? Epreuve pratique expérimentée en classe de troisième Ses problèmes peuvent être proposés en classe de 3e ou 2nde. Tricercle de Mohr Voir Carrés Voir Disque et carré Voir Nombres premiers entre eux Voir Les coffres Voir Programmes de calcul Voir D'autres activités numériques sur le site maths et tiques.